Udowodnić równość trygonometryczną

[kluczyk]

\(\displaystyle{ cos \frac{\pi}{5} \cdot cos \frac{3\pi}{5} =- \frac{1}{4}}\)

[miodzio1988]

Jest wzor na:
\(\displaystyle{ cosx \cdot cosy}\)

[kluczyk]

Niby jaki? Po pomnożeniu przez 2 obustronnie zapisałem sobie lewą stronę w postaci sumy cosinusów, ale w sumie nie pomogło :]

[miodzio1988]

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

[kluczyk]

Mówisz o tym iloczynie w postaci sumy?
No to mam: \(\displaystyle{ L= \frac{cos \frac{4\pi}{5}+cos \frac{2\pi}{5} }{2}}\) i co niby dalej?

[miodzio1988]

Mnozymy przez dwa. I korzystamy ze wzoru na \(\displaystyle{ cos2x}\)
I powinno wyjsc.
Ale ten sposob mi smierdzi. I to bardzo

[xanowron]

Pozwolę sobie wrzucić gotowe rozwiązanie. Skorzystam z rozszerzania ułamka, wzoru na sinus podwojonego kąta i wzorów redukcyjnych.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ L=cos36^{o}cos108^{o}=\frac{2sin36^{o}cos36^{o}cos108^{o}}{2sin36^{o}}=\frac{sin72^{o}cos108^{o}}{2sin36^{o}}=\frac{-2sin72^{o}cos72^{o}}{4sin36^{o}}=\frac{-sin144^{o}}{4sin36^{o}}=\frac{-sin144^{o}}{4sin144^{o}}=-\frac{1}{4}=P}\)