suma na iloczyn!

[isunia]

\(\displaystyle{ 1+sin \alpha +cos \alpha +tg \alpha}\)

jak zamienic to na iloczyn. wiem,ze wzorami na sume i roznice funkcji trygonometrycznych- tez na to wpadlam. Ale tu się konczą moje pomysły- połączyć najpierw sin z cos czy 1 z cos jako cos0 plus cos alfa..
pomóżcie.

[czeslaw]

Skorzystaj z definicji tangensa: \(\displaystyle{ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x}}\), po czym sprowadź do wspólnego mianownika.

[isunia]

to by było zbyt proste.. po sprowadzeniu do wspólnego mianownika w licznikunadal będzie suma.
wiem,że trzeba użyć wzorów na sumę i różnicę funcji trygonometrycznych, tylko nie wiem co z czym itp:(

[lukasz1804]

Może warto zacząć tak
\(\displaystyle{ 1+\sin \alpha +\cos \alpha +\tg \alpha=1+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\sin\alpha+\cos\alpha=(\frac{1}{\cos\alpha}+1)(\sin\alpha+\cos\alpha)=\frac{1+\cos\alpha}{\cos\alpha}(\sin\alpha+\cos\alpha)}\)?

[czeslaw]

isunia, rozpisałem na kartce i mi wyszło, oczywiście nie od razu.

[isunia]

wynik ma być taki:
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}cos ^{2} \frac{ \alpha }{2}cos \left( \frac{pi}{4}- \alpha \right) \cdot \frac{1}{cos \alpha }}\)
tak więc same znaki mnożenia, zero sum, różnic..
gdyby chodziło o przeształcenie-to nie pisałabym z prośbą,..

[Mersenne]

\(\displaystyle{ 1+\sin \alpha+\cos \alpha+\tg \alpha=1+\sin \alpha+\cos \alpha+\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{\cos\alpha+\sin \alpha \cos \alpha+\cos^{2} \alpha+\sin \alpha}{\cos \alpha}=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{\cos \alpha(1+\cos \alpha)+\sin \alpha(1+\cos \alpha)}{\cos \alpha}=\frac{(1+\cos \alpha)(\cos \alpha+\sin \alpha)}{\cos \alpha}=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{\cos \alpha} \cdot (1+\cos \alpha)(\cos \alpha+\sin \alpha)}\)

[isunia]

wynik jest taki jak podałam wyżej:( ehh.. bez sum, nawet w nawiasach.
ok podaje wzory z których napewno trzeba skorzystać:





w sumie wg nauczyciela powinnam poradzic sobie bez wzorow z tg i ctg

-- 15 wrz 2009, o 18:33 --
plus:
latexrender/pictures/77ca2d3f1f13871b63c69e8252c303ef.gif
ale się nie mieszczą
i co teraz?-- 15 wrz 2009, o 19:13 --podobno to typowe zadanie maturalne:(

[Mersenne]

\(\displaystyle{ \frac{1}{\cos \alpha}\cdot (1+\cos \alpha)(\sin \alpha+\cos \alpha)=\frac{1}{\cos \alpha}\cdot (\cos 0+\cos \alpha)\cdot \sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-\alpha \right)=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{\cos \alpha}\cdot 2\cos \frac{\alpha}{2} \cos \left(-\frac{\alpha}{2} \right)\cdot \sqrt{2}\cos \left(\frac{\pi}{4}-\alpha \right)=\frac{1}{\cos \alpha}\cdot 2\cos^{2} \frac{\alpha}{2} \cdot \sqrt{2}\cos \left(\frac{\pi}{4}-\alpha \right)=}\)

\(\displaystyle{ =2\sqrt{2}\cos^{2} \frac{\alpha}{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-\alpha \right) \cdot \frac{1}{\cos \alpha}}\)