Uzasadnij tożsamość

[ami92]

Witam,
mam problem z uzasadnianiem tożsamości trygonometrycznych - niektóre przykłady są proste, natomiast niektóre wręcz 'zabijają mi klina'.
Bardzo proszę o pomoc w poniższych przykładach:

a) \(\displaystyle{ \frac{1}{sin ^{2} \alpha } + \frac{1}{cos ^{2} \alpha } = \frac{1}{sin ^{2} \alpha cos ^{2} \alpha }}\)

Na powyższy przykład nie mam nawet pomysłu.

b) \(\displaystyle{ (1-sin \alpha )(sin \alpha +1)=cos ^{2} \alpha}\)

Czy dobrze przekształciłam:
\(\displaystyle{ sin \alpha +1-sin ^{2} \alpha -sin \alpha =cos ^{2} \alpha}\)
\(\displaystyle{ 1=cos ^{2} \alpha + sin ^{2} \alpha}\)
?

Nie rozumiem także przykładu:
c) \(\displaystyle{ \frac{1-2cos ^{2} \alpha }{sin \alpha cos \alpha } =tg \alpha -ctg \alpha}\)


Proszę o pomoc, bardzo zależy mi na zrozumieniu uzasadniania tożsamości, a te przykłady mnie przerosły ;(

[xanowron]

a) do wspólnego mianownika i jedynka trygonometryczna
b) dobrze
c) możesz od prawej strony zacząć i sprowadzić do wspólnego mianownika albo od lewej i w liczniku jedynka i może rozszerzyć ułamek (nie mam jak zrobić teraz, ale w sumie każdy sposób jest dobry tylko czasem masz wynik w 10 sekund, a czasem zapiszesz 3 strony)

[agulka1987]

zastoasowaniem jedynki trygonometrycznej (\(\displaystyle{ sin^2x+cos^2x=1}\))

1.

\(\displaystyle{ \frac{1}{sin^2x}+ \frac{1}{cos^2x} = \frac{cos^2x + sin^2x}{sin^2xcos^2x} = \frac{1}{sin^2xcos^2x}}\)

2.

\(\displaystyle{ (1-sinx)(sinx+1) = sinx +1 - sin^2x - sinx = 1-sin^2x = cos^2x}\)


3.
\(\displaystyle{ \frac{1-2cos^2x}{sinxcosx} = \frac{sin^2x+cos^2x-2cos^2x}{sinxcosx} = \frac{sin^2x-cos^2x}{sinxcosx} = \frac{sin^2x}{sinxcosx} - \frac{cos^2x}{sinxcosx} = \frac{sinx}{cosx} - \frac{cosx}{sinx} = tgx - ctgx}\)