Końcówka zadania

[atimor]

Witam, rozwiązując zadanie pod koniec napotkałem problem, wiążący się ze znalezieniem maksymalnej wartości wyrażenia \(\displaystyle{ 3\sin \frac{ \alpha }{2}+ \frac{1}{2}\sin \alpha}\) dla \(\displaystyle{ \alpha \in \left(0;180\right>}\) (stopni). Jak wyznaczyć maksymalną wartość? Dziękuję za jakąkolwiek pomoc.

[kaszubki]

Nie mam innego pomysłu, niż wykres.

[bereta]

Trzeba zauważyć, że w podanym przez Ciebie przedziale \(\displaystyle{ \alpha \in (0;180 \rangle}\) funkcja sinus przyjmuje największą wartość dla kąta \(\displaystyle{ 90^ \circ}\), wynoszącą 1. Dlatego powyższe wyrażenie przyjmuje maksymalną wartość dla \(\displaystyle{ \alpha=90 ^\circ}\).

\(\displaystyle{ 3 \sin \frac{90 ^\circ}{2} + \frac{1}{2} \sin 90 ^\circ = 3 \cdot sin 45 ^\circ + \frac{1}{2} \cdot 1 = 3 \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} + \frac{1}{2} = \frac{1+ 3\sqrt{2} }{2}}\)

[kaszubki]

Mi wykres mówi co innego To będzie coś koło 150 stopni.

[Nakahed90]

Możesz to zrobić za pomocą pochodnej. A najlepiej daj całe zadania, bo ta postać coś mi się nie podoba.

[atimor]

Ok. zadanie: Dane są dwa przystające okręgi o promieniu 1 styczne zewnętrznie. Obrano na nich takie trzy punkty (dwa na jednym i jeden na drugim okręgu), że pole trójkąta o wierzchołkach w tych trzech punktach jest możliwie największe. Znaleźć to pole.

Udowodniłem, że trójkąt musi być równoramienny, a jego podstawa równoległa do stycznej wewnętrznej danych dwóch okręgów. Wystarczy sprawdzić, dla jakiej podstawy, zawierającej się w półokręgu okręgu z dwoma punktami pole trójkąta jest największe.

Po wykorzystaniu kilku wzorów wychodzi, że pole jest równe tyle, co podałem, a alfa jest kątem środkowym opartym na cięciwie, będącej podstawą szukanego trójkąta.

[frej]

\(\displaystyle{ =\ldots \sin \frac{x}{2} \left( 3+\cos \frac{x}{2} \right) =\frac{1}{\lambda} \cdot \lambda \sin \frac{x}{2} \left( 3+\cos \frac{x}{2} \right) \le \left( AM-GM \right) \le \frac{1}{
\lambda} \left( \frac{3+\cos \frac{x}{2} + \lambda \sin \frac{x}{2}}{2} \right)^2}\)
I teraz musisz znaleźć rozwiązanie układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \lambda \sin \frac{x}{2}=3+\cos \frac{x}{2} \\ \sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} =1 \end{cases}}\)
Może tak da się to rozwiązać

[atimor]

A możnaby to zadanie rozwiązać inaczej niż trygonometrycznie, wykorzystując np. własności kątów w kołach, albo jakieś tajemniczo zagadkowe wzory na pole? Wynik to około: 3,1488 dla kąta 147,4, ale przyznam, że mnie to nie satysfakcjonuje. Czy mógłby ktoś wyprowadzić wynik w postaci choćby najbardziej zawikłanego ciągu pierwiastków czy nieskończonych sum, ale byle bez przerażającego znaku: "\(\displaystyle{ \approx}\)"? Byłbym bardzo wdzięczny.

Jeśli chodzi o układ równań, to nie poradzę sobie z nim... (bez pomocy komputera)

[Inkwizytor]

Czy mógłby ktoś wyprowadzić wynik w postaci choćby najbardziej zawikłanego ciągu pierwiastków czy nieskończonych sum, ale byle bez przerażającego znaku: "\(\displaystyle{ \approx}\)"? Byłbym bardzo wdzięczny.

Z rachunku I pochodnej:
\(\displaystyle{ \alpha_{max}=2 \cdot arccos( \frac{ \sqrt{17}-3 }{4})}\)

[atimor]

A mógłbym prosić o wyjaśnienie krok po kroku ?

[frej]

Szukasz ekstremum na przedziale, tj. rozwiązujesz \(\displaystyle{ f'(x)=0}\), sprawdzasz brzegi i wybierasz największą wartość.

[Inkwizytor]

Przepraszam że dopiero odpisuję ale dopiero sieć została zreanimowana.
Po wyliczeniu I pochodnej trzeba zastosować podstawienie \(\displaystyle{ t=cos( \frac{ \alpha }{2})}\) z założeniem że \(\displaystyle{ t \in <-1,1>}\) Tylko jedno z dwóch rozwiązań tego równania to spełnia.
Dalsze przekształcenie i otrzymanie tego to wcześniej napisałem to już prościzna.