Końcówka zadania
- atimor
- Użytkownik
- Posty: 91
- Rejestracja: 9 mar 2009, o 14:32
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 13 razy
Końcówka zadania
Witam, rozwiązując zadanie pod koniec napotkałem problem, wiążący się ze znalezieniem maksymalnej wartości wyrażenia \(\displaystyle{ 3\sin \frac{ \alpha }{2}+ \frac{1}{2}\sin \alpha}\) dla \(\displaystyle{ \alpha \in \left(0;180\right>}\) (stopni). Jak wyznaczyć maksymalną wartość? Dziękuję za jakąkolwiek pomoc.
- bereta
- Użytkownik
- Posty: 122
- Rejestracja: 17 kwie 2009, o 13:30
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Pomógł: 40 razy
Końcówka zadania
Trzeba zauważyć, że w podanym przez Ciebie przedziale \(\displaystyle{ \alpha \in (0;180 \rangle}\) funkcja sinus przyjmuje największą wartość dla kąta \(\displaystyle{ 90^ \circ}\), wynoszącą 1. Dlatego powyższe wyrażenie przyjmuje maksymalną wartość dla \(\displaystyle{ \alpha=90 ^\circ}\).
\(\displaystyle{ 3 \sin \frac{90 ^\circ}{2} + \frac{1}{2} \sin 90 ^\circ = 3 \cdot sin 45 ^\circ + \frac{1}{2} \cdot 1 = 3 \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} + \frac{1}{2} = \frac{1+ 3\sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ 3 \sin \frac{90 ^\circ}{2} + \frac{1}{2} \sin 90 ^\circ = 3 \cdot sin 45 ^\circ + \frac{1}{2} \cdot 1 = 3 \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} + \frac{1}{2} = \frac{1+ 3\sqrt{2} }{2}}\)
- Nakahed90
- Użytkownik
- Posty: 9096
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 1871 razy
Końcówka zadania
Możesz to zrobić za pomocą pochodnej. A najlepiej daj całe zadania, bo ta postać coś mi się nie podoba.
- atimor
- Użytkownik
- Posty: 91
- Rejestracja: 9 mar 2009, o 14:32
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 13 razy
Końcówka zadania
Ok. zadanie: Dane są dwa przystające okręgi o promieniu 1 styczne zewnętrznie. Obrano na nich takie trzy punkty (dwa na jednym i jeden na drugim okręgu), że pole trójkąta o wierzchołkach w tych trzech punktach jest możliwie największe. Znaleźć to pole.
Udowodniłem, że trójkąt musi być równoramienny, a jego podstawa równoległa do stycznej wewnętrznej danych dwóch okręgów. Wystarczy sprawdzić, dla jakiej podstawy, zawierającej się w półokręgu okręgu z dwoma punktami pole trójkąta jest największe.
Po wykorzystaniu kilku wzorów wychodzi, że pole jest równe tyle, co podałem, a alfa jest kątem środkowym opartym na cięciwie, będącej podstawą szukanego trójkąta.
Udowodniłem, że trójkąt musi być równoramienny, a jego podstawa równoległa do stycznej wewnętrznej danych dwóch okręgów. Wystarczy sprawdzić, dla jakiej podstawy, zawierającej się w półokręgu okręgu z dwoma punktami pole trójkąta jest największe.
Po wykorzystaniu kilku wzorów wychodzi, że pole jest równe tyle, co podałem, a alfa jest kątem środkowym opartym na cięciwie, będącej podstawą szukanego trójkąta.
Końcówka zadania
\(\displaystyle{ =\ldots \sin \frac{x}{2} \left( 3+\cos \frac{x}{2} \right) =\frac{1}{\lambda} \cdot \lambda \sin \frac{x}{2} \left( 3+\cos \frac{x}{2} \right) \le \left( AM-GM \right) \le \frac{1}{
\lambda} \left( \frac{3+\cos \frac{x}{2} + \lambda \sin \frac{x}{2}}{2} \right)^2}\)
I teraz musisz znaleźć rozwiązanie układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \lambda \sin \frac{x}{2}=3+\cos \frac{x}{2} \\ \sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} =1 \end{cases}}\)
Może tak da się to rozwiązać
\lambda} \left( \frac{3+\cos \frac{x}{2} + \lambda \sin \frac{x}{2}}{2} \right)^2}\)
I teraz musisz znaleźć rozwiązanie układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \lambda \sin \frac{x}{2}=3+\cos \frac{x}{2} \\ \sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} =1 \end{cases}}\)
Może tak da się to rozwiązać
- atimor
- Użytkownik
- Posty: 91
- Rejestracja: 9 mar 2009, o 14:32
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 13 razy
Końcówka zadania
A możnaby to zadanie rozwiązać inaczej niż trygonometrycznie, wykorzystując np. własności kątów w kołach, albo jakieś tajemniczo zagadkowe wzory na pole? Wynik to około: 3,1488 dla kąta 147,4, ale przyznam, że mnie to nie satysfakcjonuje. Czy mógłby ktoś wyprowadzić wynik w postaci choćby najbardziej zawikłanego ciągu pierwiastków czy nieskończonych sum, ale byle bez przerażającego znaku: "\(\displaystyle{ \approx}\)"? Byłbym bardzo wdzięczny.
Jeśli chodzi o układ równań, to nie poradzę sobie z nim... (bez pomocy komputera)
Jeśli chodzi o układ równań, to nie poradzę sobie z nim... (bez pomocy komputera)
- Inkwizytor
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 428 razy
Końcówka zadania
Z rachunku I pochodnej:atimor pisze:Czy mógłby ktoś wyprowadzić wynik w postaci choćby najbardziej zawikłanego ciągu pierwiastków czy nieskończonych sum, ale byle bez przerażającego znaku: "\(\displaystyle{ \approx}\)"? Byłbym bardzo wdzięczny.
\(\displaystyle{ \alpha_{max}=2 \cdot arccos( \frac{ \sqrt{17}-3 }{4})}\)
Końcówka zadania
Szukasz ekstremum na przedziale, tj. rozwiązujesz \(\displaystyle{ f'(x)=0}\), sprawdzasz brzegi i wybierasz największą wartość.
- Inkwizytor
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 428 razy
Końcówka zadania
Przepraszam że dopiero odpisuję ale dopiero sieć została zreanimowana.
Po wyliczeniu I pochodnej trzeba zastosować podstawienie \(\displaystyle{ t=cos( \frac{ \alpha }{2})}\) z założeniem że \(\displaystyle{ t \in <-1,1>}\) Tylko jedno z dwóch rozwiązań tego równania to spełnia.
Dalsze przekształcenie i otrzymanie tego to wcześniej napisałem to już prościzna.
Po wyliczeniu I pochodnej trzeba zastosować podstawienie \(\displaystyle{ t=cos( \frac{ \alpha }{2})}\) z założeniem że \(\displaystyle{ t \in <-1,1>}\) Tylko jedno z dwóch rozwiązań tego równania to spełnia.
Dalsze przekształcenie i otrzymanie tego to wcześniej napisałem to już prościzna.