Rozwiązać równanie trygonometryczne
-
hubertwojtowicz
- Użytkownik
- Posty: 269
- Rejestracja: 29 wrz 2008, o 16:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa\Słupsk
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 32 razy
Rozwiązać równanie trygonometryczne
Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ 2\sin^{2}x - \frac{2\sqrt{3}}{3} \sin x \cos x - 1 = 0}\) w przedziale \(\displaystyle{ <0, \pi>}\)
-
Yaco_89
- Użytkownik
- Posty: 992
- Rejestracja: 1 kwie 2008, o 00:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tychy/Kraków
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 204 razy
Rozwiązać równanie trygonometryczne
\(\displaystyle{ 2\sin^{2}x - \frac{2\sqrt{3}}{3} \sin x \cos x - 1 = 0\\
2\sin^{2}x - \frac{\sqrt{3}}{3} 2\sin x \cos x - (\sin ^{2}x+\cos ^{2}x)= 0\\
2\sin^{2}x - \frac{\sqrt{3}}{3} \sin2x - \sin ^{2}x-\cos ^{2}x= 0\\
\sin ^{2}x - \cos ^{2}x -\frac{\sqrt{3}}{3} \sin2x=0\\
-\cos2x-\frac{\sqrt{3}}{3} \sin2x=0\\
-\cos2x=\frac{\sqrt{3}}{3} \sin2x / :\sin2x\\
\ctg2x=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\)
no i tu już myślę, że prosto. ostatnie dzielenie wykonujemy przy założeniu, że x jest różne od \(\displaystyle{ 0, \frac{\pi}{2}, \pi}\) (bo dla tych argumentów sin2x=0) łatwo sprawdzić ręcznie że żadna z tych liczb nie jest rozwiązaniem równania. Po drodze skorzystałem ze wzorów na sinus i cosinus podwojonego kąta oraz jedynki trygonometrycznej, jakby coś było niejasne to pytaj .
2\sin^{2}x - \frac{\sqrt{3}}{3} 2\sin x \cos x - (\sin ^{2}x+\cos ^{2}x)= 0\\
2\sin^{2}x - \frac{\sqrt{3}}{3} \sin2x - \sin ^{2}x-\cos ^{2}x= 0\\
\sin ^{2}x - \cos ^{2}x -\frac{\sqrt{3}}{3} \sin2x=0\\
-\cos2x-\frac{\sqrt{3}}{3} \sin2x=0\\
-\cos2x=\frac{\sqrt{3}}{3} \sin2x / :\sin2x\\
\ctg2x=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\)
no i tu już myślę, że prosto. ostatnie dzielenie wykonujemy przy założeniu, że x jest różne od \(\displaystyle{ 0, \frac{\pi}{2}, \pi}\) (bo dla tych argumentów sin2x=0) łatwo sprawdzić ręcznie że żadna z tych liczb nie jest rozwiązaniem równania. Po drodze skorzystałem ze wzorów na sinus i cosinus podwojonego kąta oraz jedynki trygonometrycznej, jakby coś było niejasne to pytaj .