Rozstrzygnij czy zachodzi równość.

[MuKuL]

"Rozstrzygnij, czy dla każdej liczby \(\displaystyle{ x \in \left( 0; \pi\right)}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ ctgx + \frac{sinx}{1 + cosx} = \frac{1}{sinx}}\)"

Dla przedziału \(\displaystyle{ x \in \left( 0; \pi\right)}\) sinus jest zawsze dodatni, kosinus zaś może być dodatni, ujemny lub zerowy w tym przedziale.

\(\displaystyle{ cosx > 0 \Rightarrow \frac{cosx}{sinx} + \frac{sinx}{1 + cosx}}\) sprowadzam następnie do wspólnego mianownika
\(\displaystyle{ \frac{sin^2x + cos^2x +cosx}{sinx \left( 1+ cosx\right) } = \frac{1}{sinx} \Rightarrow}\) równość zachodzi

\(\displaystyle{ cosx < 0 \Rightarrow}\) tutaj analogicznie do wcześniejszego (wrzucam przed cosx znaczek minusa) również równość zachodzi. Jednak, gdy podstawiam za cosx zero to wynikiem jest samo sinx. Mimo tego w rozwiązaniu do tego zadania piszę, że zachodzi dla wszystkich liczb z tego przedziału.

:>

[adner]

W tym przedziale gdy cosinus jest zerem, to sinus jest jedynką, a więc \(\displaystyle{ \frac{1}{sinx}=\frac{1}{1}=1=sinx}\)

[Inkwizytor]

Nie bardzo rozumiem po co rozbijac na przypadki.
Ba! Wstawienie "minusa" przed cosx jest nieuprawnione.

Uprzedzając ew. pytanie: czemu wstawienie "minusa" nie daje sprzeczności? Po prostu ta tożsamość tryg. jest prawdziwa nie tylko dla podanego przedziału, ale dla wszystkich x (wyjąwszy punkty związane z mianownikiem i ctgx)

[czeslaw]

Rozstrzygnij, czy dla każdej liczby \(\displaystyle{ x \in \left( 0; \pi\right)}\) zachodzi równość (...)

\(\displaystyle{ cosx < 0 \Rightarrow}\) (...)