udowodnić tożsamość trygonometryczną

[bzyk12]

udowodnić podaną tożsamość:
\(\displaystyle{ \cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma=-\cos (\alpha+\beta+\gamma)+4\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cdot \cos \frac{\beta+\gamma}{2} \cdot \cos \frac{\alpha+\gamma}{2}}\)
z góry dziękuję za pomoc.

[Citizen]

tożsamośc napewno jest poprawna? Czy trzeba roztrzygnąć czy równośc zachodzi? Bo mi wyszło ze się nie równo, chyba że coś źle zrobiłem.

-- 12 sie 2009, o 23:19 --

Moje rozumowanie:

\(\displaystyle{ \cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma=-\cos \left( \alpha+\beta+\gamma \right) +4\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cdot \cos \frac{\beta+\gamma}{2} \cdot \cos \frac{\alpha+\gamma}{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma=-\cos \alpha-\cos \beta-\cos \gamma+4\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cdot \cos \frac{\beta+\gamma}{2} \cdot \cos \frac{\alpha+\gamma}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2\cos \left( \alpha+\beta+\gamma \right) = \frac{4\cos \left( \alpha+\beta \right) \cos \left( \beta+\gamma \right) \cos \left( \alpha+\gamma \right) }{8}}\)
\(\displaystyle{ 2\cos \left( \alpha+\beta+\gamma \right) = \frac{\cos \left( \alpha+\beta \right) \cos \left( \beta+\gamma \right) \cos \left( \alpha+\gamma \right) }{2}}\)
\(\displaystyle{ 4\cos \left( \alpha+\beta+\gamma \right) = \cos \left( \alpha+\beta \right) \cos \left( \beta+\gamma \right) \cos \left( \alpha+\gamma \right)}\)
\(\displaystyle{ 4\cos \left( \alpha+\beta+\gamma \right) = \cos \left( 2\alpha+2\beta+2\gamma \right)}\)
\(\displaystyle{ 4\cos \left( \alpha+\beta+\gamma \right) =2\cos \left( \alpha+\beta+\gamma \right)}\)
\(\displaystyle{ 2=1}\)

Ale równośc nie zachodzi, jest tu jakis błąd?

[Dasio11]

Funkcja cosinus to nie mnożenie... Nie zachodzi na przykład \(\displaystyle{ \cos x + \cos y + \cos z = \cos(x+y+z)}\)

Poza tym, na końcu nie wolno Ci podzielić przez ten cosinus, bo może on być równy zeru.

[Citizen]

ah ta trygonometria ;P to przepraszam

[Qń]

Skorzystamy ze wzoru (dowód prosty):
\(\displaystyle{ \cos a + \cos b = 2\cos \frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}}\)

Mamy:
\(\displaystyle{ \left( \cos \alpha + \cos \beta \right) +\left( \cos \gamma + \cos (\alpha + \beta + \gamma ) \right) = \\ \\ =
2\cos \frac{\alpha +\beta}{2}\cos\frac{\alpha -\beta}{2} +
2\cos \frac{2\gamma + \alpha +\beta}{2}\cos\frac{\alpha +\beta}{2} = \\ \\ =
2\cos \frac{\alpha +\beta}{2} \left( \cos\frac{\alpha -\beta}{2} +\cos \frac{2\gamma + \alpha +\beta}{2} \right) = \\ \\ =
4\cos \frac{\alpha +\beta}{2} \cos\frac{\gamma +\alpha }{2} \cos \frac{\gamma +\beta}{2}}\)
(w ostatnim przekształceniu też użyliśmy rzeczonego wzoru).

Q.

[Inkwizytor]

\(\displaystyle{ \cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma=-\cos \left( \alpha+\beta+\gamma \right) +4\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cdot \cos \frac{\beta+\gamma}{2} \cdot \cos \frac{\alpha+\gamma}{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma=-\cos \alpha-\cos \beta-\cos \gamma+4\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cdot \cos \frac{\beta+\gamma}{2} \cdot \cos \frac{\alpha+\gamma}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2\cos \left( \alpha+\beta+\gamma \right) = \frac{4\cos \left( \alpha+\beta \right) \cos \left( \beta+\gamma \right) \cos \left( \alpha+\gamma \right) }{8}}\)
\(\displaystyle{ 2\cos \left( \alpha+\beta+\gamma \right) = \frac{\cos \left( \alpha+\beta \right) \cos \left( \beta+\gamma \right) \cos \left( \alpha+\gamma \right) }{2}}\)
\(\displaystyle{ 4\cos \left( \alpha+\beta+\gamma \right) = \cos \left( \alpha+\beta \right) \cos \left( \beta+\gamma \right) \cos \left( \alpha+\gamma \right)}\)
\(\displaystyle{ 4\cos \left( \alpha+\beta+\gamma \right) = \cos \left( 2\alpha+2\beta+2\gamma \right)}\)
\(\displaystyle{ 4\cos \left( \alpha+\beta+\gamma \right) =2\cos \left( \alpha+\beta+\gamma \right)}\)
\(\displaystyle{ 2=1}\)

Citizen, nie sądzisz że nie powinieneś brac się za coś o czym nie masz zielonego pojęcia?
Co linijka to (wiel)błąd!

[Citizen]

Myślałem, że takie tożsamości rozwiązuje sie tak jak normalnie równania. Teraz wiem, że tak nie jest i nie zamierzam udzielać sie w takich dyskusjach, spokojnie! ;D

[bzyk12]

dzięki za pomoc Qń