Określanie znaku liczby oraz obliczanie cos

[MuKuL]

Rozwiązuje sobie nadal zadania z trygonometrii i natrafiłem na kilka przeszkód:

1. Określić znak liczby: \(\displaystyle{ tg1 + cos \pi}\)
Pierwszy raz się spotykam z sytuacją, gdzie alfa nie jest wyrażone ani w stopniach ani w radianach. Nie wiem jak to ugryźć.


2. Sinus kąta \(\displaystyle{ \alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2})}\) jest o \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) większy od kosinusa tego kąta. Oblicz cos\(\displaystyle{ \alpha}\)
Tu dochodzę do \(\displaystyle{ sin\alpha = \frac{ \sqrt{2} }{2} + cos\alpha}\) i dalej nie wiem co zrobić z tym przedziałem dla sinusa alfa.

[miodzio1988]

1) \(\displaystyle{ \pi =180 ^{o}}\)
\(\displaystyle{ tg1}\)
Skorzystaj z wykresu. I pamiętaj że \(\displaystyle{ \pi \approx 3,14}\)

2) jeszcze dodaj warunek o jedynce trygonometrycznej i powinno wyjść.

[MuKuL]

Mmm, mi niestety te wskazówki nie pomogły. Proszę nie myśleć, że piszę tu uprzednio nic nie kombinując z zadaniami, po prostu trygonometria jest moją słabą stroną.

Czyli mam traktować \(\displaystyle{ cos\pi = cos180^o}\) ?
A tg1 (tu dalej nic nie wiem :>)? Czy tg2 albo ctg3?

Co do drugiego nie nie za bardzo wiem jak jedynka trygonometryczna może mi tu pomóc. Bardziej chciałem się dowiedzieć co oznacza i jak mam traktować w tym zadaniu przedział \(\displaystyle{ \alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2})}\) dla sinusa.

[miodzio1988]

Czyli mam traktować \(\displaystyle{ cos\pi = cos180^o}\)?

Tak. A wartość tego wyrażenia to \(\displaystyle{ -1}\)

A tg1 (tu dalej nic nie wiem :>)? Czy tg2 albo ctg3?

Sprobuj zaznaczyć tg1 na wykresie tangensa. Tangens umiesz narysować, nie? Potrafisz wskazać ten punkt?

Co do drugiego nie nie za bardzo wiem jak jedynka trygonometryczna może mi tu pomóc

Dwa równania , dwie niewiadome - > masz rozwiązanie. Z jednego równania nic nie zrobisz.

Bardziej chciałem się dowiedzieć co oznacza i jak mam traktować w tym zadaniu przedział \(\displaystyle{ \alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2})}\) dla sinusa.

Tak, że sinus w tym przedziale jest ujemny. Tylko to nam daje ta informacja.

[MuKuL]

Ok wszystko już rozumiem poza tym tangensem. No wzór funkcji tanges znam - . Jedyne co mi przychodzi do głowy to \(\displaystyle{ tg1 = \frac{\pi}{4}}\) (co jest chyba błędne?).

Mam jeszcze tg2 oraz ctg3 do rozwikłania. Chyba poproszę już o całkowite wyjaśnienie bo nie mam sił po prostu, a jutro czekają mnie kolejne zadania :<

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ 1>\frac{\pi}{4} \Rightarrow tg1>tg\frac{\pi}{4}=1}\)

[MuKuL]

No tak, ale to co napisałeś to sam się domyślałem pisząc w nawiasie "co jest chyba błędne?". Naprawdę proszę o wyjaśnienie problemu. Gdyby nie to, że nie mogę nigdzie w Internecie o tym znaleźć to bym tu nie pisał. Litości.

[czeslaw]

Kluczem do zrozumienia jest pewnie ten fragment:

Pierwszy raz się spotykam z sytuacją, gdzie alfa nie jest wyrażone ani w stopniach ani w radianach

Otóż nie, kąt jest tutaj wyrażony w radianach.
\(\displaystyle{ \tg 1}\) to po prostu tangens jednego radiana. Ile to jest? Ano jakoś tak ponad 3 razy mniej niż \(\displaystyle{ \pi}\) radianów, prawda? A jakby to porównać do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) ? Ano \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} \approx 0.8}\) więc mniej niż 1. Ponieważ \(\displaystyle{ 1 > \frac{\pi}{4}}\), a funkcja tangens jest funkcją rosnącą w tych okolicach, to \(\displaystyle{ \tg 1 > \tg \frac{\pi}{4}}\)...

[MuKuL]

Czyli jest to zapis analogiczny w stylu \(\displaystyle{ tg\pi \approx tg3,14}\)?

No i wracając do początku
tg1 + cos\(\displaystyle{ \pi}\)
Wiem, że cos\(\displaystyle{ \pi}\) = -1, zaś \(\displaystyle{ tg1>tg\frac{\pi}{4}=1}\)
Suma-sumarum odejmujemy liczbę mniejszą od większej czyli wartość całkowita tego wyrażenia jest dodatnia :>?

Mój mózg gdzieś już wyparował, ale chyba to zrozumiałem.

Rozumując w ten sposób tg2 będzie oscylowało gdzieś ponad \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)? To znaczy, że będzie ujemne. Zaś ctg3 będzie mniejsze od \(\displaystyle{ ctg \pi}\), czytając z wykresu również ujemne. Zatem tg2 + ctg3 będzie miało znak ujemny :>

Mam nadzieję, że dobrze to zrozumiałem. I jeszcze dzięki za mega oświecenie

[czeslaw]

Tak, jest ok.