Uprość wyrażenie

[przlde]

Mam problem z takim zadaniem
Uprość wyrażenie \(\displaystyle{ sin \alpha \cdot \sqrt{1+ctg ^{2} \alpha }}\) i oblicz jego wartość dla kąta \(\displaystyle{ \alpha = 210 ^{o}}\)

[alchemik]

Może to pomoże?

11923.htm

[przlde]

Szczerze mówiąc nie wiem sam, wyszło mi takie coś ;/
\(\displaystyle{ sin \alpha + |ctg \alpha |}\)

Coś chyba źle liczę.

[Przemas O'Black]

Skorzystaj z tablic:

\(\displaystyle{ 1 + ctg ^{2} \alpha = \frac{1}{sin ^{2} \alpha }}\)

[alchemik]

\(\displaystyle{ sin \alpha \cdot \sqrt{1+ctg ^{2} \alpha }=-|sin \alpha| \sqrt{1+ctg ^{2} \alpha }=-\sqrt{sin^{2} \alpha+cos^{2} \alpha}=-1}\)

[przlde]

A mógłbyś mi wytłumaczyć krok po kroku jak to obliczyłeś?
Nie potrafię zrozumieć tego zadania.

[Przemas O'Black]

\(\displaystyle{ sin \alpha \cdot \sqrt{1+ctg ^{2} \alpha }=-|sin \alpha| \sqrt{1+ctg ^{2} \alpha }=-\sqrt{sin^{2} \alpha+cos^{2} \alpha}=-1}\)

Na jakiej podstawie taki znak? Równie dobrze może być 1.

[alchemik]

Jak może być równie dobrze 1, skoro to wyrażenie może przyjmować tylko jedną wartość albo -1 albo 1 .

Ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}}=|x|}\), a zatem \(\displaystyle{ \sqrt{sin^{2} \alpha}=|sin \alpha|}\), a ponieważ \(\displaystyle{ sin \alpha}\) jest mniejsze od 0, więc zachodzi następująca równość:\(\displaystyle{ sin \alpha=-|sin \alpha|=-\sqrt{sin^{2} \alpha}}\)
Podstawiając do wyjściowej równości:
\(\displaystyle{ sin \alpha \cdot \sqrt{1+ctg ^{2} \alpha } = -\sqrt{sin^{2} \alpha} \cdot \sqrt{1+ctg ^{2} \alpha } = -\sqrt{sin^{2} \alpha +sin^{2} \alpha \cdot \frac{cos^{2} \alpha }{sin^{2} \alpha }}=-1}\)

[Przemas O'Black]

ponieważ \(\displaystyle{ sin \alpha}\) jest mniejsze od 0, więc zachodzi następująca równość:\(\displaystyle{ sin \alpha=-|sin \alpha|=-\sqrt{sin^{2} \alpha}}\)

Dla kąta 210 stopni, ale ogólnie niekoniecznie \(\displaystyle{ sin \alpha}\) jest mniejsze od 0.

[alchemik]

no ogólnie oczywiście, że nie, ale w pierwszym poście kąt alfa został zdefiniowany.

[Przemas O'Black]

Czepiam się, ale na klasówce w liceum takie rozwiązanie nie mogłoby być ocenione na maksymalną ilość punktów. Można też skorzystać ze wzoru z tablic, który nie jest trudno udowodnić:

\(\displaystyle{ 1 + ctg ^{2} \alpha = \frac{1}{sin ^{2} \alpha }}\)

[czeslaw]

Czepiasz się. Z całą pewnością za takie rozwiązanie dostałbyś max punktów, a tym bardziej, gdyby zostało poparte komentarzem, dlaczego tak można.

[Przemas O'Black]

Według mnie to zadanie należy traktować jako dwuczęściowe i najpierw uprościć, a dopiero później podać wartość dla tego kąta. Przecież w kluczu są punkty za porządne uproszczenie, a tutaj zostało tylko uproszczone dla pewnego szczególnego przypadku.

[Dasio11]

Okej

\(\displaystyle{ \sin \alpha \cdot \sqrt{1+ \ctg^2 \alpha} = \sin \alpha \cdot \sqrt{\frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}+ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}= \sin \alpha \cdot \sqrt{\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}= \sin \alpha \cdot \sqrt{\frac{1}{\sin^2 \alpha}}=\sin \alpha \cdot \left|\frac{1}{\sin \alpha} \right| = \sin \alpha \cdot \frac{1}{|\sin \alpha|} = \mbox{sgn}(\sin \alpha)}\) - przypadek ogólny.

Dla:

\(\displaystyle{ \alpha=210^{\circ} \Rightarrow \sin \alpha = \sin 210^{\circ} \Rightarrow \sin \alpha < 0 \Rightarrow \mbox{sgn}(\sin \alpha) =-1}\)

[czeslaw]

Dasio11, +1

Nie ma to jak zaszpanować na końcu zapisem wykorzystującym fajną funkcję

\(\displaystyle{ f(\alpha) = \begin{cases} 1 \ \text{dla} \ \alpha \in (0; \pi) \\ -1 \ \text{dla} \ \alpha \in (\pi; 2\pi)\end{cases}}\)

Zatem \(\displaystyle{ f(210^{o}) = -1}\)