Wartości funkcji trygonometrycznych

[yogi16abc]

Jeżeli \(\displaystyle{ \tg \alpha =2 to:
A. \sin \alpha = \frac{ \sqrt{5} }{2}}\)

B. \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{ 2 \sqrt{5} }{5}}\)

C. \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{ \sqrt{5} }{5}}\)

D. \(\displaystyle{ \sin \alpha = \sqrt{5}}\)
Proszę o uzasadnienie odpowiedzi.

[Chromosom]

Skorzystaj z tożsamości trygonometrycznych:
\(\displaystyle{ \tg x=\frac{\sin x}{\cos x}\\ \sin^2x+\cos^2x=1}\)
Powinnaś bez problemu uzyskać wynik, w razie problemów pytaj:)

[yogi16abc]

Dziękuję bardzo;D

[czeslaw]

Już napisałem rozwiązanie, więc nie będę go kasował.

Podpowiedź:    

A i D możesz odrzucić z miejsca, ponieważ zbiorem wartości funkcji sinus jest przedział \(\displaystyle{ <-1; 1>}\) a te odpowiedzi do tgo przedziału nie należą.

Ponadto wiemy że sinus ma być wartością dodatnią (wszystkie odpowiedzi są dodatnie), i tangens też jest dodatni - więc mówimy o pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i z jednej z definicji tangensa:

\(\displaystyle{ \tg \alpha = 2 \\ \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha} = 2 \\ \sin\alpha=2 \cos \alpha \\ \cos \alpha = \sqrt{1-\sin^{2} \alpha} \\ \sin \alpha = 2\sqrt{1-\sin^{2}} \alpha \\ \sin \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}}\)

[bedbet]

Można to w pamięci zrobić błyskawicznie. Jeżeli \(\displaystyle{ \tan\alpha=2}\), to przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych długości \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\) wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\), tak więc \(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}}\).