Nierównośc trygonometryczna z parametrem

[Bartek1991]

Dla jakich wartości parametru m nierówność \(\displaystyle{ sin^6 x + cos^6 x + 2m sinxcosx \ge 0}\)jest spełniona dla każdej wartości x?

[Nakahed90]

Uprość ze wzorów skróconego mnożenia dwa pierwsze czynniki..

[Bartek1991]

Chodzi Ci o to żeby skorzystać z jedynk i potem sześcianu sumy? Bo nie za wiele mi to pomogło.

[Zordon]

\(\displaystyle{ cos^6x=(1-sin^2x)^3}\)
poupraszczaj, i potem sprowadź do takiej postaci żeby mieć wszędzie \(\displaystyle{ sin(2x)}\) i podstaw \(\displaystyle{ sin(2x)=t}\) pozostanie do rozwiązania równanie kwadratowe.

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ cos^6x=(1-sin^2x)^3}\)
poupraszczaj, i potem sprowadź do takiej postaci żeby mieć wszędzie \(\displaystyle{ sin(2x)}\) i podstaw \(\displaystyle{ sin(2x)=t}\) pozostanie do rozwiązania równanie kwadratowe.

Mała uwaga, powstanie nierówność, a nie równanie

[Zordon]

Mała uwaga, powstanie nierówność, a nie równanie

No tak

[Bartek1991]

ostatecznie dochodzę do nierówności:

\(\displaystyle{ 3t^2 + 4mt + 4 \ge 0}\) gdzie t = sin2x, nierównośc ta jest prawdziwa dla każdego x gdy jej wyróżnik jest mniejszy od zera czyli gdy \(\displaystyle{ m \in ( - \sqrt{3}; \sqrt{3})}\). Jednak z tego co widzę to jest błędna odpowiedź.

[Zordon]

ostatecznie dochodzę do nierówności:

\(\displaystyle{ 3t^2 + 4mt + 4 \ge 0}\) gdzie t = sin2x, nierównośc ta jest prawdziwa dla każdego x gdy jej wyróżnik jest mniejszy od zera czyli gdy \(\displaystyle{ m \in ( - \sqrt{3}; \sqrt{3})}\). Jednak z tego co widzę to jest błędna odpowiedź.

ja mam tam w jednym miejscu minus, sprawdź może jeszcze raz. I jeszcze trzeba pamiętać, że \(\displaystyle{ t \in [-1,1]}\)

[Inkwizytor]

ostatecznie dochodzę do nierówności:

\(\displaystyle{ 3t^2 + 4mt + 4 \ge 0}\) gdzie t = sin2x, nierównośc ta jest prawdziwa dla każdego x gdy jej wyróżnik jest mniejszy od zera czyli gdy \(\displaystyle{ m \in ( - \sqrt{3}; \sqrt{3})}\). Jednak z tego co widzę to jest błędna odpowiedź.

Rozumowanie idzie błędnym torem.
Funkcja \(\displaystyle{ 3t^2 + 4mt + 4}\) może sobie być we fragmentach ujemna, jeno aby dla \(\displaystyle{ t \in < -1; 1>}\) była NIEUJEMNA. Pozostałe części paraboli są nieistotne.-- 10 lip 2009, o 13:48 --Oczywiście warunek delty \(\displaystyle{ \le 0}\) jest jednym z przypadków ale należy wówczas rozpatrzeć również:
\(\displaystyle{ \delta > 0}\)
większy z pierwiastków jest \(\displaystyle{ \le -1}\) lub mniejszy z pierwiastków \(\displaystyle{ \ge 1}\)

[Bartek1991]

ja mam tam w jednym miejscu minus,

W którym konkretnie?

A tak w ogóle mam pytanie, mamy takie coś:

\(\displaystyle{ sin^2 x \cdot ( - cos^2 x) = (- sinx cos x)^2 = (sinxcosx)^2}\) czy też może \(\displaystyle{ sin^2 x \cdot ( - cos^2 x) = - sin^2 x \cdot cos^2 x = - ( sinxcosx)^2}\)

Która wersja i dlaczego jest poprawna?

[scyth]

druga jest poprawna, ponieważ ogólnie zachodzi: \(\displaystyle{ -a^2 \ne (-a)^2=a^2}\).

[Bartek1991]

No właśnie, ale wówczas \(\displaystyle{ \Delta = 16(m^2+3)}\) i co zrobić dalej?

[Inkwizytor]

Zatem delta zawsze dodatnia dla wszystkich m.

a dalej to co napisałem wcześniej. Mam nadzieję że potrafisz rozróżnić wzór na mniejszy i na większy z dwóch pierwiastków trójmianu kwadratowego

[Bartek1991]

Nie wiem za bardzo o jakich mówisz wzorach.

[Inkwizytor]

\(\displaystyle{ t_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{\delta}}{2a}}\)
jeden jest zawsze większym pierwiastkiem a drugi mniejszym (dla delty większej od zera)