Suma pierwiastków równania trygonometrycznego

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Bartek1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 529
Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 18 razy

Suma pierwiastków równania trygonometrycznego

Post autor: Bartek1991 »

Oblicz sumę wszystkich pierwiastków równania
\(\displaystyle{ 4 \cos^2 x = 3}\)
należących do przedziału \(\displaystyle{ (-8 \pi; 10 \pi )}\)

Rozwiązując równanie otrzymujemy w aż cztery pierwiastki, czy to oznacza, że będziemy mieli 4 sumy? Otrzymałem cos takiego:

\(\displaystyle{ S_1= \frac{3}{2} \pi \\ S_2 = \frac{33}{2} \pi \\ S_3 = \frac{15}{2} \pi \\ S_4 = \frac{21}{2} \pi}\)

Mógłby ktos to sprawdzić?
bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2530
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 248 razy

Suma pierwiastków równania trygonometrycznego

Post autor: bedbet »

Składników tej sumy będzie \(\displaystyle{ 36}\).
Bartek1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 529
Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 18 razy

Suma pierwiastków równania trygonometrycznego

Post autor: Bartek1991 »

Nie za bardzo rozumiem o czym piszesz...
bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2530
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 248 razy

Suma pierwiastków równania trygonometrycznego

Post autor: bedbet »

Pisze o Twoim zadaniu. Przedział, w którym autor zadania życzy sobie rozwiązania jest dosyć obszerny, stąd tyle będzie tych rozwiązań. To, że autor zadania oczekuje zapewne, aby w sprytny sposób zsumować te rozwiązania, to inna sprawa.
Bartek1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 529
Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 18 razy

Suma pierwiastków równania trygonometrycznego

Post autor: Bartek1991 »

Ja wyliczyłem, że w każdym przypadku jest po 9 składników...
bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2530
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 248 razy

Suma pierwiastków równania trygonometrycznego

Post autor: bedbet »

Możesz zamieścić swoje obliczenia, to zobaczymy gdzie masz błąd?
Bartek1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 529
Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 18 razy

Suma pierwiastków równania trygonometrycznego

Post autor: Bartek1991 »

Być, może mówimy o czym innym, w każdym bądź razie weźmy pierwsze z pośród czterech mozliwych rozwiązań, \(\displaystyle{ x = \frac{ \pi}{6} + 2k \pi}\) k oczywiście jest całkowite, mamy:

\(\displaystyle{ x_1 = - \frac{47 \pi}{6} \\ x_n = \frac{49 \pi}{6} \\ r = 2 \pi}\)

z wyrażenia na x_n znajdujemy n=9 (mamy tu oczywiście ciąg arytmetyczny)
bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2530
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 248 razy

Suma pierwiastków równania trygonometrycznego

Post autor: bedbet »

Sam napisałeś jedne z czterech rozwiązań, więc jeżeli jedno ma \(\displaystyle{ n=9}\), to wszystkich jest...
Bartek1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 529
Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 18 razy

Suma pierwiastków równania trygonometrycznego

Post autor: Bartek1991 »

No tak ale nas nie pytają o to ile jest składników tej sumy tylko o jej wartość...
bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2530
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 248 razy

Suma pierwiastków równania trygonometrycznego

Post autor: bedbet »

To jaki problem zsumować teraz te rozwiązania? Zwłaszcza, że sam zauważyłeś, że tworzą one ciąg arytmetyczny. Można również skorzystać z własności funkcji sinus, graficznie to rozważając.
Bartek1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 529
Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 18 razy

Suma pierwiastków równania trygonometrycznego

Post autor: Bartek1991 »

Nie za bardzo rozumiem. Może od początku, rozwiązując równanie wyjściowe, otrzymałem 4 rozwiązania postaci:

\(\displaystyle{ x_1 = \frac{\pi}{6}+2k \pi \\ x_2 = - \frac{\pi}{6}+2k \pi \\ x_3 = \frac{5 \pi}{6}+2k \pi \\ x_4 = - \frac{5 \pi}{6}+2k \pi}\)

I teraz dla każdego z tych rozwiązań obliczyem sume, otrzymując wyniki liczbowe takie jak w pierwszym poście.
bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2530
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 248 razy

Suma pierwiastków równania trygonometrycznego

Post autor: bedbet »

No i dodajesz te sumy, o ile są one poprawnie wyliczone.
Bartek1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 529
Rejestracja: 31 mar 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 18 razy

Suma pierwiastków równania trygonometrycznego

Post autor: Bartek1991 »

Ok chyba już rozumiem. A gdybyś miał czasmógłbyś zobaczyć czy te sumy są dobrze policzone?
matematyk1995
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 734
Rejestracja: 5 mar 2011, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podhale/ Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 61 razy

Suma pierwiastków równania trygonometrycznego

Post autor: matematyk1995 »

Przepraszam, że odkopuje temat ( po raz kolejny)
Czy prawdziwe jest stwierdzenie że dla pierwiastków \(\displaystyle{ \in (-8\pi , 8\pi)}\) suma będzie równa 0, bo przecież kosinus jest funkcją parzystą .
Wystarczy więc rozpatrzyć przedział \(\displaystyle{ [8pi , 10 pi )}\) gdzie suma wychodzi: \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6} +8\pi + \frac{5\pi}{6} + 8 \pi = 17 \pi}\) ?

Jeżeli tak nie jest to gdzie jest błąd w moim rozumowaniu ?
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Suma pierwiastków równania trygonometrycznego

Post autor: piasek101 »

Rozumowanie ok (wyniku nie sprawdzam) - przy czym nie chodzi o sam cosinus.
ODPOWIEDZ