sinus - uzasadnienie

[wioleczka]

Dlaczego możemy napisać, że:
\(\displaystyle{ | \sum_{k=1}^{ \infty}sin k| = | \frac{sin \frac{n}{2}sin \frac{n+1}{2}}{sin \frac{1}{2}} |}\)?
Jaki tutaj wzór bądź przekształcenie zostało zastosowane?

[Crizz]

Chyba coś źle przepisałaś.

[wioleczka]

dzięki już poprawiłam

[Kamil_B]

Ogolnie zachodzi (wzor odnosi się raczej do sum skończonych tzn sumujemy do konkretnego n a nie do nieskonczoności):
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}sin kx = \frac{sin (\frac{n}{2}x) sin (\frac{n+1}{2}x)}{sin \frac{1}{2}x}}\)
Stąd dla x=1 wynika Twoja równość.
Aby to pokazać należy przemnożyc obie strony tej równości przez \(\displaystyle{ sin \frac{1}{2}}\)
a następnie skorzystac ze wzoru \(\displaystyle{ sin(k)sin(\frac{1}{2})= -\frac{1}{2}[cos(k+\frac{1}{2}) - cos(k-\frac{1}{2})]}\)
Sporo powinno nam się poskracać:P

[Crizz]

Na mocy wzoru de Moivre'a możemy zapisać, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (cosx+isinx)^{k} = \sum_{k=1}^{n}coskx+i \cdot \sum_{k=1}^{n}sinkx}\)

Stąd \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}sin(kx)=Im\left(\sum_{k=1}^{n} (cosx+isinx)^{k}\right)}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (cosx+isinx)^{k}}\) to szereg geometryczny, możemy jego sumę wyznaczyć ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (cosx+isinx)^{k}= (cosx+isinx)\frac{1-(cosx+isinx)^{n}}{1-(cosx+isinx)}}\)

Ostatecznie, \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}sin(kx)=Im\left((cosx+isinx)\frac{1-(cosx+isinx)^{n}}{1-(cosx+isinx)}\right)}\)

Poprzekształcaj trochę wyrażenie w nawiasie i wyjdzie ci wzór podany przez Kamila_B (wskazówka: będziesz musiała po drodze skorzystać z tożsamości \(\displaystyle{ 1-cos\alpha=2sin^{2}\frac{\alpha}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ sin\alpha=2sin\alpha cos\alpha}\), a później ze wzoru de Moivre'a).