Łączenie rozwiązań trygonometrycznych z okresem

[patry93]

Witam.

Rozwiązując pewne równanie natknąłem się na takie coś: \(\displaystyle{ sin^2x= \frac{1}{2}}\)
Rozwiązałem to i otrzymałem: \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{4} + k \pi , \ x = - \frac{\pi}{4} + k \pi}\)
Co ciekawe, zamieniając \(\displaystyle{ k \pi \ na \ \frac{k \pi}{2}}\) można "wyrzucić" rozwiązanie z minusem, co jest dla mnie zagadką...
Wiem, że można łączyć rozwiązania wyłączając całości "pi" i tak właśnie uczyniłem przy rozwiązywaniu wyjściowego równania (ponieważ wychodziły łącznie cztery rozwiązania), ale tutaj nie bardzo jak można to "pi" wyciągnąć, stąd moje zdziwienie...

Z góry dziękuję za pomoc.
Pozdrawiam, P.

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}}\)

[patry93]

Kurczę, nie mogę tego załapać :/
No więc tak, mam: \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{4} + k \pi = - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + k \pi = - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} (2k+1) = - \frac{\pi}{4} + \frac{ \pi (2k+1)}{2}}\)
Drugie rozkładam analogicznie: \(\displaystyle{ x=- \frac{\pi}{4} + k \pi = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} + k \pi = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} (-2k+1) = \frac{\pi}{4} + \frac{ \pi (2k+1)}{2}}\)
Ale w postaci "2k+1" nie znajdą się wszystkie możliwe "k", więc coś tu mi nie gra...

[frej]

Postaram się choć trochę pomóc.

Masz rozwiązania: \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} + k\pi}\) oraz \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4} + l \pi}\) które Ty otrzymałeś. Ktoś jednak mówi tak: odpowiedzią jest \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} + p\frac{\pi}{2}}\)

Zauważ jednak, że dla \(\displaystyle{ p=2m}\) otrzymujesz rozwiązania \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} + m\pi}\), co daje pierwsze rozwiązanie. Zaś dla \(\displaystyle{ p=2n-1}\) otrzymujesz \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} + (2n-1)\frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} + n\pi}\) co daje drugie rozwiązanie. Wobec tego konkluzja nasuwa się sama.


btw.
Pamiętaj jednak, że nie musi być \(\displaystyle{ n=l}\) czy \(\displaystyle{ m=k}\), bo może być \(\displaystyle{ m=k+1234013}\). Rozwiązania jednak są te same, bo dla każdego \(\displaystyle{ m_0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ k_0}\), że \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} + k_0 \pi = \frac{\pi}{4} + m_0 \pi}\)

Mam nadzieję, że choć trochę jaśniej.

[patry93]

Tak, trochę mi się już rozjaśniło, ale nadal nie do końca. Ty bardzo sprytnie skorzystałeś, że tak powiem, z tezy i wykazałeś jej prawdziwość. Jednak co robić, gdy teza (czyli ostateczny wygląd rozwiązania) nie jest znana? W jakiś sposób trzeba do tego dojść, bez zgadywania (wierzę, że to nie jest tak naprawdę zgadywanie, ale ja nie jestem jeszcze wprawiony w takich zadaniach i dlatego to tak wygląda), lecz pytanie - jak?

[frej]

Tak, to czasami może być problem. Nie wiem czy jest taki algorytm ( może można takie coś wyprowadzić ), ale ja jeśli tak "łącze rozwiązania" to robię to na czuja. Dawno nie bawiłem się w takie liczenie tych równań do końca ale z tego co pamiętam, to nie trzeba tak łączyć rozwiązań. Zupełnie poprawnie jest, gdy tego nie zrobić i powiesz, że rozwiązaniami są liczby \(\displaystyle{ \pm \frac{\pi}{4} + k\pi \quad k\in \mathbb{Z}}\).

Zatem jeśli chcesz tak łączyć, to ja nie znam innej metody jak chwilę pomyśleć i popróbować.
Jeśli zaś znasz rozwiązanie, np. porównujesz odpowiedzi w książce z Twoimi, to wystarczy zrobić mniej więcej tak jak w poprzednim poście:)

[patry93]

Rozumiem i dziękuję
\(\displaystyle{ \pm}\) rocks

[tkrass]

Najprościej to chyba narysować okrąg jednostkowy, zaznaczyć na nim rozwiązania. Wtedy wprawne oko zobaczy wszystko.