Równanie trygonometryczne, kwadrat tangensa, cosinus

[patry93]

Witam.

Rozwiązać równanie: \(\displaystyle{ tg^2x- \frac{3}{cosx}+3=0}\)

Przekształcam: \(\displaystyle{ \frac{sin^2x}{cos^2x} - \frac{3cosx}{cos^2x} + \frac{3cos^2x}{cos^2x} = 0 \iff \frac{sin^2x+3cosx+3cos^2x}{cos^2x}=0 \iff \frac{3cosx+2cos^2x+1}{cos^2x}=0}\)
Mianownik musi być różny od zera, więc \(\displaystyle{ x \neq \frac{\pi}{2} + k \pi}\)
Licznik musi być równy zero. Robię podstawienie \(\displaystyle{ t=cosx}\), wówczas:
\(\displaystyle{ 2t^2+3t+1=0 \Rightarrow t_1 = -1 \ , \ t_2= - \frac{1}{2}}\)
Rozpatruję przypadki:
\(\displaystyle{ 1^{\circ} \ cosx=-1=cos \pi \Rightarrow x= \pi + 2k \pi \\ 2^{\circ} cosx= - \frac{1}{2} = cos \frac{2 \pi}{3} = cos (- \frac{2 \pi}{3}) \Rightarrow x = \frac{2 \pi}{3} + 2k \pi \ \vee \ x = - \frac{2 \pi}{3} + 2k \pi}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ x= \pi + 2k \pi \ \vee \ x = \frac{2 \pi}{3} + 2k \pi \ \vee \ x = - \frac{2 \pi}{3} + 2k \pi}\)

Moje rozwiązanie niestety nie pokrywa się z książkowym, które wygląda tak:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x = - \frac{\pi}{3} + 2k \pi , \ x = \frac{\pi}{3} + 2k \pi , \ x = 2k \pi}\)

Nie mogę znaleźć błędu :/

Pozdrawiam, P.

[loitzl9006]

machnąłeś się w przekształceniach w 2. linijce:

\(\displaystyle{ \iff \frac{sin^2x+3cosx+3cos^2x}{cos^2x}=0}\)

a powinno być:

\(\displaystyle{ \iff \frac{sin^2x-3cosx+3cos^2x}{cos^2x}=0}\)

[cienkibolek]

dokładnie

\(\displaystyle{ \tg ^{2}x- \frac{3}{\cos x}+3=0\\
\\
x \neq \frac{\pi}{2} +k\pi\\
\\
\frac{\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x} - \frac{3}{\cos x}+3=0\\
\\
\frac{\sin ^{2}x}{\cos x} - 3+3\cos x=0\\
\\
\sin ^{2}x - 3\cos x+3\cos^{2} x=0\\
\\
2\cos^{2} x-3\cos x +1=0\\
\\
\cos x= \frac{1}{2} \vee \cos x=1\\
\\
x= \frac{\pi}{3} +2k\pi\\
\\
x= -\frac{\pi}{3} +2k\pi\\
\\
x=2k\pi\\}\)