Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
-
patry93
- Użytkownik
- Posty: 1251
- Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
- Podziękował: 352 razy
- Pomógł: 33 razy
Post
autor: patry93 »
Witam.
Rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ tg^2x- \frac{3}{cosx}+3=0}\)
Przekształcam:
\(\displaystyle{ \frac{sin^2x}{cos^2x} - \frac{3cosx}{cos^2x} + \frac{3cos^2x}{cos^2x} = 0 \iff \frac{sin^2x+3cosx+3cos^2x}{cos^2x}=0 \iff \frac{3cosx+2cos^2x+1}{cos^2x}=0}\)
Mianownik musi być różny od zera, więc
\(\displaystyle{ x \neq \frac{\pi}{2} + k \pi}\)
Licznik musi być równy zero. Robię podstawienie
\(\displaystyle{ t=cosx}\), wówczas:
\(\displaystyle{ 2t^2+3t+1=0 \Rightarrow t_1 = -1 \ , \ t_2= - \frac{1}{2}}\)
Rozpatruję przypadki:
\(\displaystyle{ 1^{\circ} \ cosx=-1=cos \pi \Rightarrow x= \pi + 2k \pi \\ 2^{\circ} cosx= - \frac{1}{2} = cos \frac{2 \pi}{3} = cos (- \frac{2 \pi}{3}) \Rightarrow x = \frac{2 \pi}{3} + 2k \pi \ \vee \ x = - \frac{2 \pi}{3} + 2k \pi}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ x= \pi + 2k \pi \ \vee \ x = \frac{2 \pi}{3} + 2k \pi \ \vee \ x = - \frac{2 \pi}{3} + 2k \pi}\)
Moje rozwiązanie niestety nie pokrywa się z książkowym, które wygląda tak:
Nie mogę znaleźć błędu :/
Pozdrawiam, P.
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Post
autor: loitzl9006 »
machnąłeś się w przekształceniach w 2. linijce:
\(\displaystyle{ \iff \frac{sin^2x+3cosx+3cos^2x}{cos^2x}=0}\)
a powinno być:
\(\displaystyle{ \iff \frac{sin^2x-3cosx+3cos^2x}{cos^2x}=0}\)
-
cienkibolek
- Użytkownik
- Posty: 52
- Rejestracja: 17 mar 2009, o 21:22
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 8 razy
Post
autor: cienkibolek »
dokładnie
\(\displaystyle{ \tg ^{2}x- \frac{3}{\cos x}+3=0\\
\\
x \neq \frac{\pi}{2} +k\pi\\
\\
\frac{\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x} - \frac{3}{\cos x}+3=0\\
\\
\frac{\sin ^{2}x}{\cos x} - 3+3\cos x=0\\
\\
\sin ^{2}x - 3\cos x+3\cos^{2} x=0\\
\\
2\cos^{2} x-3\cos x +1=0\\
\\
\cos x= \frac{1}{2} \vee \cos x=1\\
\\
x= \frac{\pi}{3} +2k\pi\\
\\
x= -\frac{\pi}{3} +2k\pi\\
\\
x=2k\pi\\}\)