\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \ x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi}\)
Te dwa rozwiązania możemy zsumować w jedno \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{6}+k\pi}\)
\(\displaystyle{ \frac{7}{6}\pi+2k\pi=\frac{\pi}{6}+(2k+1)\pi}\)
do tego dokładasz rozwiązanie\(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}+2k\pi}\)
Możesz je połączyć w jedno (w pierwszym w drugim składniku są liczby parzyste razy pi, w drugim nieparzyste, więc można to połączyć w jedno: \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}+k\pi}\), pod k będą się kryć zarówno liczby parzyste, jak i nieparzyste).
Jeszcze żeby sprawdzić, czy zrozumiałem - podobny przykładzik
2. \(\displaystyle{ 4sin^3x+4sin^2x-3sinx-3=0}\)
Dla czytelności zapisu podstawiam \(\displaystyle{ t=sinx}\) i przekształcam: \(\displaystyle{ 4t^2(t+1)-3(t+1)=0 \iff (t+1)(4t^2-3)=0 \Rightarrow t=-1 \ \vee \ t^2= \frac{3}{4}}\)
Wracam do zapisu z sinusem i rozpatruję przypadki: \(\displaystyle{ 1^{\circ} \ sinx=-1=sin ( - \frac{\pi}{2} ) \Rightarrow x = - \frac{\pi}{2} + 2k \pi \\ 2^{\circ} \ sin^2x= \frac{3}{4} \Rightarrow A) \ sinx= \frac{ \sqrt{3}}{2} \ \vee \ B) \ sinx= - \frac{ \sqrt{3}}{2} \\ A) \ sinx= \frac{ \sqrt{3}}{2} = sin \frac{\pi}{3} = sin \frac{2 \pi}{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + 2k \pi \ \vee \ x = \frac{2 \pi}{3} + 2k \pi \\ B) \ sinx= - \frac{ \sqrt{3}}{2} = sin (- \frac{\pi}{3}) = sin \frac{4 \pi}{3} \Rightarrow x = - \frac{\pi}{3} + 2k \pi \ \vee \ x = \frac{4 \pi}{3} + 2k \pi}\)
Z A) i B) łączę pierwsze rozw. A) z drugim z B) oraz drugie z A) z pierwszym z B), co łącznie z rozwiązaniem z pierwszego przypadku daje w sumie: \(\displaystyle{ x = - \frac{\pi}{2} + 2k \pi \ \vee \ x = \frac{\pi}{3} + k \pi \ \vee \ x = - \frac{\pi}{3} + k \pi}\)
Proszę o sprawdzenie, bo coś dziwnego mam w książce, a mianowicie rozwiązania nie są połączone (dziwne, bo w poprzednim przykładzie rozw. były połączone...), więc albo ja mam błąd, albo autorom nie chciało się już bawić w spajanie rozwiązań
Przy okazji, bo chyba nie trzeba będzie pisać nowego tematu - jeszcze jedno równanie, co do którego nie jestem pewny:
3. \(\displaystyle{ 1 - sin2x=2sin^2x-tgx}\)
Przekształcam: \(\displaystyle{ 2sinxcosx+2sin^2x=1+ \frac{sinx}{cosx} \iff 2sinx(cosx+sinx)= \frac{cosx+sinx}{cosx}}\)
Aby równanie miało sens musi być \(\displaystyle{ cosx \neq 0 \iff x \neq \frac{\pi}{2} + k \pi}\)
Wprowadzam zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t=sinx+cosx}\) i rozpatruję przypadki: \(\displaystyle{ 1^{\circ} \ t \neq 0}\)
Wtedy równanie przyjmuje postać: \(\displaystyle{ 2tsinx= \frac{t}{cosx} \iff sinxcosx= \frac{1}{2} \iff sin2x=1}\)
Zatem: \(\displaystyle{ sin2x=1=sin \frac{\pi}{2} \Rightarrow 2x= \frac{\pi}{2} + 2k \pi \iff x = \frac{\pi}{4} + k \pi}\) \(\displaystyle{ 2^{\circ} \ t = 0 \\ sinx+cosx=0 \iff sin^2x+cos^2x+2sinxcosx=0 \iff sin2x=-1= sin(- \frac{\pi}{2}) \Rightarrow x = - \frac{\pi}{4} + k \pi}\)
Ostatecznie rozwiązania to: \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{4} + k \pi \ \vee \ x = - \frac{\pi}{4} + k \pi}\)
