Trygonometria. Zbiór wartości funkcji.

[manko_wlkp]

Prosiłbym o wyznaczenie zbioru wartości funkcji(krok po kroku). Nie interesuje mnie sama odpowiedż, gdyż taką posiadam

\(\displaystyle{ y= sin^4 x + cos^4 x}\)

Dziękuję za pomoc.

[Psycho]

\(\displaystyle{ sin^{4}x + cos^{4}x=(sin^{2}x + cos^{2}x)^{2} - 2sin^{2}xcos^{2}x=
1 - \frac{1}{2}(2sinxcosx)^{2}=1 - \frac{1}{2}(sin2x)^{2}}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ -1 \le sin2x \le 1 \\
0 \le (sin2x)^{2} \le 1 \\
-1 \le - (sin2x)^{2} \le 0 \\
-\frac{1}{2} \le - \frac{1}{2} (sin2x)^{2} \le 0 \\
\frac{1}{2} \le 1 - \frac{1}{2} (sin2x)^{2} \le 1}\)
stąd
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \le sin^{4}x + cos^{4}x \le 1}\)

[bedbet]

\(\displaystyle{ -1\leq\sin x\leq 1\\
\\
-1\leq\sin 2x\leq 1\ \ \ / \ (\ )^2\\
\\
0\leq\sin^22x\leq 1 \ \ / \cdot \frac{1}{2}\\
\\
-\frac{1}{2}\leq-\sin^22x\leq 0 \ \ / + 1\\
\\
\frac{1}{2}\leq 1-\frac{1}{2}\sin^22x\leq 1\\
\\
\frac{1}{2}\leq 1-(\frac{\sqrt{2}}{2}2\sin 2x)^2\leq 1\\
\frac{1}{2}\leq 1-(\sqrt{2}\sinx \cos x)^2\leq 1\\
\\
\frac{1}{2}\leq 1-2\sin^2x\cos^2x\leq 1\\
\\
\frac{1}{2}\leq (\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x\leq 1\\
\\
\frac{1}{2}\leq \sin^4x+\cos^4 x\leq 1\\
\\
\frac{1}{2}\leq y\leq 1}\)