Przedstawić w postaci iloczynu: sinus, cosinus

[patry93]

Witam.

Jak w temacie:
\(\displaystyle{ 1 - sin \alpha + cos \alpha}\)

Mam tyle: \(\displaystyle{ 1 - sin \alpha + cos \alpha = 1 - cos (90^{ \circ} - \alpha)+ cos \alpha = 1- (cos(90^{ \circ} - \alpha)- cos \alpha) = 1 - ( -2 sin 45^{\circ} sin \frac{90^{\circ}-2 \alpha}{2} ) = sin 90^{\circ} + \sqrt{2} sin (45^{\circ} - \alpha)}\)
Gdyby nie to \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), to ładnie można by to zwinąć do iloczynu, a tak... to coś nie chce wyjść :/

Z góry dziękuję za pomoc.
Pozdrawiam, P.

[Crizz]

\(\displaystyle{ 1-sin \alpha +cos \alpha=2cos^{2}\frac{\alpha}{2}-sin\alpha=2cos^{2}\frac{\alpha}{2}-2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}= 2cos\frac{\alpha}{2}\left(cos\frac{\alpha}{2}-sin\frac{\alpha}{2} \right) = 2cos\frac{\alpha}{2}\left(cos\frac{\alpha}{2}-cos\left(90^{o}-\frac{\alpha}{2} \right)\right)=2cos\frac{\alpha}{2} \cdot 2sin45^{o}sin\left(45^{o}-\frac{\alpha}{2}\right) = 2\sqrt{2}cos\frac{\alpha}{2}sin\left(45^{o}-\frac{\alpha}{2}\right)}\)

Skorzystałem z tozsamości:
\(\displaystyle{ 1+cos\alpha=2cos^{2}\frac{\alpha}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=1-2sin^{2}\frac{\alpha}{2}}\)
\(\displaystyle{ co\alpha-cos\beta=2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\beta-\alpha}{2}}\)

[Psycho]

głupoty

[Crizz]

Tak, Psycho, można też \(\displaystyle{ 1-sin\alpha+cos\alpha=1 \cdot (1-sin\alpha+cos\alpha)}\)

[Psycho]

Tak, Psycho, można też \(\displaystyle{ 1-sin\alpha+cos\alpha=1 \cdot (1-sin\alpha+cos\alpha)}\)

To co napisałem wcześniej rzeczywiście było nieprzemyślane, ale po co taka głupkowata ironia?
Nowe rozw:

\(\displaystyle{ 1 - sin\alpha + cos \alpha = sin \frac{\pi}{2} - sin\alpha + cos\alpha = 2 \cdot sin \frac{\frac{\pi}{2} - \alpha}{2} \cdot cos\frac{\frac{\pi}{2} + \alpha}{2} + sin( \frac{\pi}{2} - \alpha ) = 2 \cdot sin \frac{\frac{\pi}{2} - \alpha}{2} \cdot cos\frac{\frac{\pi}{2} + \alpha}{2}
+ 2 \cdot sin\frac{\frac{\pi}{2} + \alpha}{2} \cdot cos\frac{\frac{\pi}{2} + \alpha}{2}=
2 \cdot cos\frac{\frac{\pi}{2} + \alpha}{2}(sin \frac{\frac{\pi}{2} - \alpha}{2} + sin \frac{\frac{\pi}{2} + \alpha}{2} = 2 \cdot cos\frac{\frac{\pi}{2} + \alpha}{2} \cdot 2 \cdot sin \frac{\frac{\frac{\pi}{2} - \alpha}{2} + \frac{\frac{\pi}{2} + \alpha}{2}}{2} \cdot cos \frac{\frac{\frac{\pi}{2} - \alpha}{2} - \frac{\frac{\pi}{2} + \alpha}{2}}{2}= 4cos( \frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}) \cdot sin \frac{\pi}{4} \cdot cos( \frac{-\alpha}{2})=2\sqrt{2} \cdot cos( \frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2})\cdot cos( \frac{\alpha}{2})=2\sqrt{2} \cdot sin( \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})\cdot cos( \frac{\alpha}{2})}\)

Wyszło mi tak jak u Crizza dlatego jak coś, to nie sprawdzałem zbyt długo

[patry93]

Dziękuję.

Tak na przyszłość: nie zawsze o tym piszę, ale szczerze mówiąc, wolę wskazówki zamiast gotowców

Crizz - dwóch pierwszych tożsamości nie znałem, ale łatwo je wyprowadzić i wygląda na to, że są przydatne Rozumiem, że znałeś te tożsamości, a nie ułożyłeś je specjalnie pod przykład?
I jeszcze co do zamiany \(\displaystyle{ sin \alpha \ na \ 2 sin \frac{ \alpha}{2} cos \frac{ \alpha}{2}}\), to raczej nie da się ukryć, iż jest ona dosyć niestandardowa/"zaskakująca" (jak dla mnie) niczym zamiana zera na 3*7-30+9 To jest wypracowany "myk" czy często stosowana metoda?

[Psycho]

I jeszcze co do zamiany \(\displaystyle{ sin \alpha \ na \ 2 sin \frac{ \alpha}{2} cos \frac{ \alpha}{2}}\), to raczej nie da się ukryć, iż jest ona dosyć niestandardowa/"zaskakująca" (jak dla mnie) niczym zamiana zera na 3*7-30+9 To jest wypracowany "myk" czy często stosowana metoda?

Trudno mi powiedzieć, czy jest to jakiś "myk" lub metoda ( raczej wątpię ). Miałem kilka pomysłów na zadanie i ostatecznie zauważyłem, że właśnie można w ten sposób rozpisać. W trygonometrii jest trochę wzorów, więc raczej w tego typu zadaniach liczy się pomysłowość, bo takich kombinacji jest sporo. Suma sumarum to takie zadanie pierwszy raz rozwiązywałem, bo moim zdaniem takie przekształcenia to kwestia czasu

[Crizz]

Co do tych tożsamości, to nie układałem ich specjalnie pod przykład, mogą być przydatne... na olimpiadzie, jak liczysz jakieś dziwne sumy szeregów trygonometrycznych. Ogólnie zadania na przedstawienie w postaci iloczynu stały się bezsensowne, odkąd ludzkość przestała się posługiwać suwakami logarytmicznymi (chyba przestała...?)

[patry93]

Aha...

Ogólnie zadania na przedstawienie w postaci iloczynu stały się bezsensowne, odkąd ludzkość przestała się posługiwać suwakami logarytmicznymi (chyba przestała...?)

A to ciekawe stwierdzenie Można wiedzieć, dlaczego tak uważasz?
Btw. nie mam pojęcia co ma trygonometria do logarytmów, ale to pewnie przez brak kontaktu z tym suwakiem