Suma sinusów, przedstawić w postaci iloczynu

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 33 razy

Suma sinusów, przedstawić w postaci iloczynu

Post autor: patry93 »

Witam.

Przedstawić w postaci iloczynu: \(\displaystyle{ sin \alpha + sin 2 \alpha + sin 3 \alpha}\)

Próbowałem tak:
\(\displaystyle{ sin \alpha + sin 2 \alpha + sin 3 \alpha = 2 sin \frac{3 \alpha}{2} cos \frac{- \alpha}{2} + sin 3 \alpha = 2sin \frac{3 \alpha}{2}cos \frac{\alpha}{2} + sin \alpha cos 2 \alpha + cos \alpha sin 2 \alpha}\)
jednak raczej nic z tego nie wyjdzie, z powodu powstałych ułamków (będą nierówne kąty)

Następnie spróbowałem w inną stronę:
\(\displaystyle{ sin \alpha + sin 2 \alpha + sin 3 \alpha = sin \alpha + 2sin \alpha cos \alpha + sin \alpha cos 2 \alpha + cos \alpha sin 2 \alpha = sin \alpha + 2sin \alpha cos \alpha + sin \alpha (cos^2 \alpha - sin^2 \alpha) + cos \alpha (2 sin \alpha cos \alpha) = sin \alpha (2 cos \alpha + cos^2 \alpha - sin^2 \alpha + 2 cos^2 \alpha) = sin \alpha (2cos \alpha + 3cos^2 \alpha - sin^2 \alpha)}\)
Wydaje mi się, że do będzie dobry trop, bo kąty się zgadzają, ale mam problem z przekształceniem tego, co jest w nawiasie...
Proszę o wskazówkę/podpowiedź.

Z góry dziękuję za odpowiedzi.
Pozdrawiam, P.
Awatar użytkownika
lukki_173
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 913
Rejestracja: 24 paź 2008, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
Podziękował: 56 razy
Pomógł: 218 razy

Suma sinusów, przedstawić w postaci iloczynu

Post autor: lukki_173 »

Tego w nawiasie chyba nie trzeba przekształcać. Ja bym to tak zostawił.
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 33 razy

Suma sinusów, przedstawić w postaci iloczynu

Post autor: patry93 »

No, (nie)stety trzeba to jeszcze przekształcić, bo w postaci iloczynu nie może wystąpić dodawanie/odejmowanie.
Problem w tym, że nie bardzo mogę wpaść na pomysł - jak?
Można jeszcze w nawiasie wyciągnąć przed drugi nawias \(\displaystyle{ cos \alpha}\), ale to też nie pomaga
Awatar użytkownika
lukki_173
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 913
Rejestracja: 24 paź 2008, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kościeliska (woj. opolskie)
Podziękował: 56 razy
Pomógł: 218 razy

Suma sinusów, przedstawić w postaci iloczynu

Post autor: lukki_173 »

No ale przecież Ty masz już iloczyn. Masz iloczyn sinusa kąta razy wyrażenie w nawiasie.
Można też tak, chyba prościej jest:
\(\displaystyle{ sin \alpha + sin 2 \alpha + sin 3 \alpha=sin\alpha+sin3\alpha+sin2\alpha=\\
=2sin( \frac{\alpha+3\alpha}{2} )cos( \frac{\alpha-3\alpha}{2} )+sin2\alpha=2sin2\alpha \cdot cos(-\alpha)+sin2\alpha=\\
=sin2\alpha(2cos\alpha+1)}\)
frej

Suma sinusów, przedstawić w postaci iloczynu

Post autor: frej »

Tak ogólnie, to istnieje prosty wzór na \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} sin kx}\), który się wyprowadza przez de Moivre'a lub pomnożenie przez \(\displaystyle{ 2sin \frac{x}{2}}\) czy jakoś tak. W każdym razie trzeba dobrać to tak, żeby się poredukowało po zastosowaniu wzoru na iloczyn sinusów czyli różnicę cosinusów.

Co do Twojego liczenia. Skorzystaj z \(\displaystyle{ cos^2 x = 1-sin^2x}\) i \(\displaystyle{ cos 2x=1-2sin^2 x}\)
ODPOWIEDZ