Obliczanie sin, cos na podstawie danego tg

patry93 · Post autor: **patry93** » 12 cze 2009, o 22:31

Witam.

Obliczyć \(\displaystyle{ \frac{2 sin \alpha cos \alpha}{sin^2 \alpha - cos^2 \alpha}}\), jeśli \(\displaystyle{ tg \alpha = \frac{5}{3}}\)

Ok, więc \(\displaystyle{ \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = tg \alpha \Rightarrow sin \alpha = \frac{5}{3} cos \alpha}\)
Podstawiam do "jedynki trygonometrycznej": \(\displaystyle{ \frac{25}{9} cos^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1 \iff cos^2 \alpha = \frac{9}{34}}\)
Ze względu na kwadrat, rozpatruję dwa przypadki:
\(\displaystyle{ 1^{ \circ} \ cos \alpha = \frac{3 \sqrt{34}}{34}}\)
Zatem \(\displaystyle{ \frac{2 sin \alpha cos \alpha}{sin^2 \alpha - cos^2 \alpha} = \frac{2 \cdot \frac{5 \sqrt{34}}{34} \cdot \frac{3 \sqrt{34}}{34}}{\frac{25 \cdot 34}{34^2} - \frac{9 \cdot 34}{34^2}} = \frac{30}{34} \cdot \frac{34}{25-9} = \frac{15}{8}}\)
Drugi przypadek:
\(\displaystyle{ 2^{ circ} cos alpha = - frac{3 sqrt{34}}{34} \ \(\displaystyle{ \frac{2 sin \alpha cos \alpha}{sin^2 \alpha - cos^2 \alpha} = \frac{2 \cdot (- \frac{5 \sqrt{34}}{34}) \cdot (- \frac{3 \sqrt{34}}{34})}{\frac{25 \cdot 34}{34^2} - \frac{9 \cdot 34}{34^2}} = \frac{30}{34} \cdot \frac{34}{25-9} = \frac{15}{8}}\)

Dobrze?
I przy okazji - wynik wyszedł taki sam w obu przypadkach, co zdarzyło mi się już nieraz podczas robienia podobnych zadań i zastanawiam się - dlaczego? Czy to wynika może z jakichś własności funkcji trygonometrycznych, np. (nie)parzystość? Zamiast zawsze rozpisywać oba przypadki, równie dobrze mógłbym liczyć jeden, ale czy jest jakiś dowód na to, że w drugim wyjdzie tyle samo?

Z góry dziękuję za pomoc.
Pozdrawiam, P.}\)

luka52 · Post autor: **luka52** » 12 cze 2009, o 22:35

Wynik się zgadza, ale czy nie lepiej podzielić licznik i mianownik tego na początku przez \(\displaystyle{ \cos^2 \alpha}\)? .

A wyniki wyjdą te same w 1* i 2*, bo mianowniki będą identyczne, a znaki sinusa i kosinusa też muszą być takie same (tangens jest dodatni) co pociąga taki sam licznik w tych dwóch przypadkach.

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 12 cze 2009, o 22:37

Zamień licznik i mianownik na wzoru kątów podwójnych, twoje rozwiązanie też jest poprawne, ale dłuższe.

patry93 · Post autor: **patry93** » 12 cze 2009, o 22:46

luka52 - o! na to nie wpadłem, a chyba faktycznie lepiej (sam uczę się trygonometrii i niestety zamiast elegancko rozwalać zadania, to zawsze pałuję ).
Wówczas będzie: \(\displaystyle{ \frac{2 sin \alpha cos \alpha}{sin^2 \alpha - cos^2 \alpha} = \frac{ 2 tg \alpha}{tg^2 \alpha -1} = \frac{15}{8}}\) ?

Nakahed90 - nie bardzo rozumiem... czy chodzi Ci o zamienienie \(\displaystyle{ 2sin \alpha cos \alpha \ na \ sin 2 \alpha}\) ? Ale czy to nie będzie jeszcze większe utrudnienie?

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 12 cze 2009, o 22:51

\(\displaystyle{ =\frac{sin2\alpha}{-cos2\alpha}=-tg2\alpha=\frac{2tg\alpha}{tg^{2}\alpha-1}}\)
Jak dla mnie nie jest to utrudnienie, oblicznie są wiele łatwiejsze

patry93 · Post autor: **patry93** » 12 cze 2009, o 22:54

Ok, nie widziałem tego Dzięki.-- 12 czerwca 2009, 22:59 --Hm, ale zaraz - skąd wzięło się \(\displaystyle{ -cos 2 \alpha}\) ? Ja widzę tam \(\displaystyle{ 1- 2 cos^2 \alpha}\)...

luka52 · Post autor: **luka52** » 13 cze 2009, o 09:34

\(\displaystyle{ \cos 2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}\) - standardowy wzór, w Twoim przykładzie jest to z minusem.

Quaerens · Post autor: **Quaerens** » 13 cze 2009, o 11:12

A tego zadania nie można zrobić w taki sposób, że policze ctg, sin, cos i wtedy podstawie do wyżej wymienionego zadania??

Nakahed90 · Post autor: **Nakahed90** » 13 cze 2009, o 11:17

Oczywiście, że można, tylko po co komplikować zadanie, jeżeli stosując podstawowe wzory można uzyskać prostszą formę danego wyrażenia i podstawić wartość tangensa.

Quaerens · Post autor: **Quaerens** » 13 cze 2009, o 11:37

W sumie tak. Liczyłem i wyszło tak samo lecz miałem problem bo nie wiedziałem, które wartości przyjmować z powodu braku ćwiartek.