tożsamości trygonometryczne ?

[maciek123211]

Witam mógłby mi ktoś wytłumaczyć takie zadanie :
Uzasadnij tożsamość:
a) \(\displaystyle{ tg ^{2} \alpha -sin ^{2} \alpha =tg ^{2} \alpha *sin ^{2} \alpha}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{cos \alpha }{sin \alpha -1} +tg \alpha = -\frac{1}{cos \alpha }}\)
c) \(\displaystyle{ \frac{ctg \alpha }{tg \alpha +ctg \alpha } =(1-sin \alpha )(1+sin \alpha )}\)

oraz zadanie
Ustal jaką najmniejszą i jaką największą wartość może przyjąć wyrażenie :
a)\(\displaystyle{ 5-3sin ^{2} \alpha - 2cos ^{2} \alpha}\)
b)\(\displaystyle{ \frac{1}{2} cos ^{2} \alpha +3sin ^{2} \alpha}\)
c)\(\displaystyle{ 2sin ^{2} \alpha -cos ^{2} \alpha}\)

Z góry dzieki xD

[anna_]

a)
\(\displaystyle{ L=tg ^{2} \alpha -sin ^{2} \alpha = \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha} -sin^2\alpha=\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}-\frac{sin^2\alpha\cos^2\alpha}{cos^2\alpha} =\frac{sin^2\alpha-sin^2\alpha\cos^2\alpha}{cos^2\alpha}=\frac{sin^2\alpha(1-cos^2\alpha)}{cos^2\alpha}=\frac{sin^2\alpha \cdot sin^2\alpha}{cos^2\alpha}=\frac{sin^2\alpha }{cos^2\alpha} \cdot sin^2\alpha =tg ^{2} \alpha \cdot sin ^{2} \alpha=P}\)

b)
\(\displaystyle{ L=\frac{cos \alpha }{sin \alpha -1} +tg \alpha = \frac{cos \alpha }{sin \alpha -1}+ \frac{sin\alpha}{cos\alpha}= \frac{cos \alpha \cdot cos\alpha }{(sin \alpha -1) \cdot cos \alpha}+ \frac{sin\alpha \cdot (sin \alpha -1)}{cos \alpha \cdot (sin \alpha -1) }=\frac{cos^2\alpha+sin\alpha \cdot (sin \alpha -1)}{(sin \alpha -1) \cdot cos \alpha}=\frac{cos^2\alpha+sin^2\alpha -sin \alpha }{(sin \alpha -1) \cdot cos \alpha}=\frac{1-sin \alpha }{(sin \alpha -1) \cdot cos \alpha}=-\frac{sin \alpha-1 }{(sin \alpha -1) \cdot cos \alpha}=- \frac{1 }{cos \alpha}=P}\)

c) zamieć \(\displaystyle{ tg\alpha= \frac{sin\alpha}{cos\alpha}}\) i \(\displaystyle{ ctg\alpha= \frac{cos\alpha}{sin\alpha}}\) i sprowadź do wspólnego mianownika

[maciek123211]

A mógłbyś mi jeszcze to jakoś wytłumaczyć ?? Bo nie rozumiem nic ;/

[anna_]

Zamieniasz
\(\displaystyle{ tg\alpha= \frac{sin\alpha}{cos\alpha}}\) i \(\displaystyle{ ctg\alpha= \frac{cos\alpha}{sin\alpha}}\)
jeśli trzeba stosujesz jedynkę trygonometryczną, czyli \(\displaystyle{ sin^2\alpha+cos^2\alpha=1}\) i wykonujesz działania jak na wyrażeniech wymiernych

[maciek123211]

Aaa no to dzięki ...

[anna_]

a)
Najpierw doprowadzasz wyrażenie do takiej postaci, aby był tylko sin lub cos

\(\displaystyle{ 5-3sin ^{2} \alpha - 2cos ^{2} \alpha=5-3sin ^{2} \alpha - 2(1-sin^{2} \alpha)=5-3sin ^{2} \alpha - 2+2sin^{2} \alpha=3-sin ^{2}\alpha}\)

Minimalna wartość \(\displaystyle{ sin^2\alpha=0}\)
Ponieważ ostateczy wynik był równy \(\displaystyle{ 3-sin ^{2}\alpha}\), więc dla \(\displaystyle{ sin^2\alpha=0}\) będzie to wartość maksymalna (im mniej odejmujesz, tym więcej Ci zostaje)
\(\displaystyle{ 3-sin ^{2}\alpha=3-0=3}\)

Maksymalna wartość \(\displaystyle{ sin^2\alpha=1}\)
Ponieważ ostateczy wynik był równy \(\displaystyle{ 3-sin ^{2}\alpha}\), więc dla \(\displaystyle{ sin^2\alpha=1}\) będzie to wartość minimalna \(\displaystyle{ 3-sin ^{2}\alpha=3-1=2}\) (im więcej odejmujesz, tym mniej Ci zostaje)

Reszta podobnie