nierówność trygonometryczna

mezco · Post autor: **mezco** » 4 cze 2009, o 19:43

Witajcie,

mam takie zadanie:

\(\displaystyle{ 4cos^{2}x+2sin^{2}x<5cosx}\)

no i poobliczalem i wyszlo:

\(\displaystyle{ t_{1} = \frac{1}{2} \\
t_{2} = 2}\)

Ale przeciez cosinus nie przyjmuje wartości 2... Co dalej?

lina2002 · Post autor: **lina2002** » 4 cze 2009, o 19:48

To może przedstawisz swoje obliczenia?
Ja na początek wyeliminowałabym \(\displaystyle{ sin^2x}\) korzystając z jedynki trygonometrycznej.

mezco · Post autor: **mezco** » 4 cze 2009, o 19:54

\(\displaystyle{ 4cos^2x+2-2cos^2x-5cosx<0

2cos^2x-5cosx+2<0

\Delta=9, \sqrt{\Delta}=3

t_{1}= \frac{1}{2}

t_{2}=2}\)

lina2002 · Post autor: **lina2002** » 4 cze 2009, o 19:59

Jest ok.
Teraz zauważ, że musi być \(\displaystyle{ t \in ( \frac{1}{2} , 2)}\)
Poza tym \(\displaystyle{ t \in <-1,1>}\), więc ostatecznie \(\displaystyle{ t \in ( \frac{1}{2},1>}\)

mezco · Post autor: **mezco** » 4 cze 2009, o 20:07

Ok, dzieki

Mam jeszcze takie cos:

\(\displaystyle{ |ctg2x|<1}\)

czy tu wystarczy cos takiego:

\(\displaystyle{ -1<2x<1}\)

??

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 4 cze 2009, o 22:08

mezco pisze: \(\displaystyle{ |ctg2x|<1}\)
czy tu wystarczy cos takiego:
\(\displaystyle{ -1<2x<1}\)

Raczej : \(\displaystyle{ -1<ctg2x<1}\)

mezco · Post autor: **mezco** » 4 cze 2009, o 22:24

No ok, ale co dalej, czy tak:

\(\displaystyle{ x>- \frac{1}{2}
\\
x< \frac{1}{2}}\)

i potem co? Na wykresie nie odczytam dla jakich x funkcja przyjmuje wartosc \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) lub \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\)...

lina2002 · Post autor: **lina2002** » 4 cze 2009, o 22:39

A z \(\displaystyle{ ctg}\) co się stało?
Chyba nie podzieliłeś obustronnie przez \(\displaystyle{ ctg}\)...
Z wykresu możesz odczytać dla jakich wartości funkcja \(\displaystyle{ ctg 2x}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ -1}\).
Chociaż po Twoich postach sądzę, że nadal będziesz miał z tym problem, więc \(\displaystyle{ 2x \in \frac{\pi}{4}+k\pi, \frac{3\pi}{4} +k\pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in C}\). Teraz wystarczy podzielić przez 2:
\(\displaystyle{ x \in \{ \frac{\pi}{8}+ \frac{k\pi}{2} , \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \}}\)

mezco · Post autor: **mezco** » 4 cze 2009, o 23:30

ok, tylko to jest nierówność, więc ostateczny wynik to:

\(\displaystyle{ x \in (- \infty ; \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} ) \cup ( \frac{3}{8} \pi+ \frac{k\pi}{2}; \infty )}\)
??

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 5 cze 2009, o 07:04

mezco pisze:ok, tylko to jest nierówność, więc ostateczny wynik to:

\(\displaystyle{ x \in (- \infty ; \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} ) \cup ( \frac{3}{8} \pi+ \frac{k\pi}{2}; \infty )}\)
??

Niestety nie, będzie ,,odwrotny"; tylko od ........ do ........ .

lina2002 · Post autor: **lina2002** » 5 cze 2009, o 08:19

Sorry, pomyliłam nawiasy. Miały byc okragłe, a nie klamerki.