wykaz, ze...

[kermitex]

mam takie dwa przykladziki: jesli ktos umie to robic i moglby mi to tu rozpisac, bede wdzieczny: oto one:
a) \(\displaystyle{ (cos -cos \beta)^{2}+(sin -sin \beta)^{2}=4sin^{2}\frac{\alpha-\beta}{2}}\);
b) \(\displaystyle{ 2(1+cos )-sin^{2}\alpha=4cos^{4}\frac{\alpha}{2}}\).

I jak do tego podejsc? Prosze o pomoc.

[tomekbobek]

1) rozkladamy lewa strone:
\(\displaystyle{ cos^{2}A - 2cosAcosB + cos^{2}B+ sin^{2}A - 2sinAsinB + sin^{2}B=2-2cosAcosB-2sinAsinB}\)
=\(\displaystyle{ -2(cosAcosB+sinAsinB-1)=-2(cos(A-B)-cos0)=-2(-2sin(\frac{A-B}{2})sin(\frac{A-B}{2}))=4sin^{2}\frac{A-B}{2}}\)

[Tomasz Rużycki]

Niech \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2} = x}\).

\(\displaystyle{ 2(1+\cos 2x) - \sin^2 2x = 4\cos^2 x - 1+\cos^2 2x = 4\cos^2 x - 1 + (2\cos^2 x - 1)^2= 4\cos^2 x - 1 + 4\cos^4 x - 4\cos^2 x + 1 = 4\cos^4x}\), a to juz konczy dowod.