Potrzebuje pomocy z równaniem oraz nierównością, proszę o dosyć wystarczające wytłumaczenie,
a) \(\displaystyle{ sin3x = - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
b) \(\displaystyle{ cos4x > - \frac{1}{2}}\)
równanie oraz nierówność
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
równanie oraz nierówność
a) Podstaw \(\displaystyle{ t=3x}\). Wyznacz rozwiązania równania \(\displaystyle{ \sin t=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\). Wówczas rozwiązania wyjściowego równania są postaci \(\displaystyle{ \frac{t}{3}}\).
b) Podobnie wystarczy dokonać podstawienia \(\displaystyle{ t=4x}\) i rozwiązać nierówność \(\displaystyle{ \cos t>-\frac{1}{2}}\). Mamy \(\displaystyle{ t\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(-\frac{2}{3}\pi+2k\pi,\frac{2}{3}\pi+2k\pi)}\), tj. \(\displaystyle{ 4x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(-\frac{2}{3}\pi+2k\pi,\frac{2}{3}\pi+2k\pi)}\). Zatem \(\displaystyle{ x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(-\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2},\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2})}\).
\(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) oznacza zbiór wszystkich liczb całkowitych.
b) Podobnie wystarczy dokonać podstawienia \(\displaystyle{ t=4x}\) i rozwiązać nierówność \(\displaystyle{ \cos t>-\frac{1}{2}}\). Mamy \(\displaystyle{ t\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(-\frac{2}{3}\pi+2k\pi,\frac{2}{3}\pi+2k\pi)}\), tj. \(\displaystyle{ 4x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(-\frac{2}{3}\pi+2k\pi,\frac{2}{3}\pi+2k\pi)}\). Zatem \(\displaystyle{ x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(-\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2},\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2})}\).
\(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) oznacza zbiór wszystkich liczb całkowitych.