Rozwiąż równanie trygonometryczne sin2x - sin3x = 0

Tama · Post autor: **Tama** » 6 paź 2004, o 18:22

Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sin 2x - \sin 3x = 0}\)

Czy wie ktoś jak to rozwiązać?

Skrzypu · Post autor: **Skrzypu** » 6 paź 2004, o 20:35

\(\displaystyle{ \sin 2x - \sin 3x = 0 \\
2\sin x\cos x-(3\sin x-4\sin ^3 x)=0\\
2\sin x\cos x=3\sin x-4\sin ^3 x\\
4\sin ^2 x \cos ^2 x=9\sin ^2 x -20\sin ^4 x +16\sin ^6 x\\
0=5\sin ^2 x-20\sin ^4 x +16\sin ^6 x\\
0=\sin x(5\sin x-20\sin ^3 x+16\sin ^5 x)\\
\sin x \cdot \sin 5x=0\\
\sin x=0 \lor \sin 5x=0\\
x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, k \in C \lor 5x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, k \in C\\
x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, k \in C \lor x=\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{5}, k \in C}\)

Tama · Post autor: **Tama** » 6 paź 2004, o 22:07

Dzięki za odpowiedź, ale skąd w równaniu wzieło się wyrażenie:
\(\displaystyle{ 3\sin x-4\sin ^3 x}\), czy jest to z jakiegoś wzoru?

gnicz · Post autor: **gnicz** » 6 paź 2004, o 23:31

Tama pisze:skąd w równaniu wzieło się wyrażenie: \(\displaystyle{ 3\sin x-4\sin ^3 x}\), czy jest to z jakiegoś wzoru?

Jak latwo sie zorientowac \(\displaystyle{ \sin 3x = 3\sin x - 4\sin ^3 x}\).

Pozdrawiam, GNicz

Skrzypu · Post autor: **Skrzypu** » 7 paź 2004, o 13:45

No to może to rozpisze

\(\displaystyle{ \sin 3x=\sin (2x+x)=\sin 2x \cdot \cos x+\sin x \cdot \cos 2x=\\
=2\sin x \cdot \cos x \cdot \cos x+\sin x \cdot (1-2\sin ^2 x)=\\
=2\sin x \cdot \cos ^2 x+\sin x-2\sin ^3 x=\\
=2\sin x \cdot (1-\sin ^2 x)+\sin x-2\sin ^3 x=\\
=2\sin x-2\sin ^3 x+\sin x-2\sin ^3 x=\\
=3\sin x-4\sin ^3 x}\)