rownanie tryg. dwoch zmiennych

[Ageless]

tg � (x+y) + ctg � (x+y)= 1-2x-x �

coś takiego mam do rozwiązania, a nie mam już pomysłów jak to ugryźć

[Sulik]

Zauważ że lewa strona jest sumą liczby dodatniej i jej odwrotności (\(\displaystyle{ tg^2(x+y)}\) i \(\displaystyle{ \frac1{tg^2(x+y)}}\)). Zatem lewa strona jest liczbą z przedziału \(\displaystyle{ \left}\). Równość zachodzi więc wtedy i tylko wtedy, gdy obie strony są jednocześnie równe 2. Prawa strona jest rówa 2 tylko dla x=-1. Czyli x=-1. Teraz wystarczy roziązać: \(\displaystyle{ tg^2(y-1)+\frac1{tg^2(y-1)}=2}\) aby znaleźć y.

[Ageless]

a czemu lewa strona jest od 2 do nieskończoności?

[Sulik]

Suma liczby dodatniej i jej odwrotności (a takimi są właśnie \(\displaystyle{ tg^2(x+y)}\) i \(\displaystyle{ ctg^2(x+y)}\)) jest większa bądź równa 2. Można to udowodnić np. tak (z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb dodatnich):
\(\displaystyle{ x+\frac1x=2\frac{x+\frac1x}2\geq2\sqrt{x\cdot\frac1x}=2\sqrt1=2}\).

Możesz równie dobrze npisać na początku rozwiązania:
\(\displaystyle{ "\mathrm{Zauwazmy, ze:}\quad tg^2(x+y)+ctg^2(x+y)=2\frac{tg^2(x+y)+ctg^2(x+y)}2\geq2\sqrt{tg^2(x+y)ctg^2(x+y)}=2|tg(x+y)ctg(x+y)|=2"}\)

[Ageless]

dzięki, teraz już wszystko jasne