tożsamości trygonometryczne

[e1nzelstuck]

Zadanie:
a) Znajdź wszystkie kąty spełniające warunek sin a = tg a
b) Oblicz wartość tangensa kąta alfa, jeśeli wartość ta jest równa wartości cosinusa tego kąta.

[Moraxus]

a)
\(\displaystyle{ tg \alpha = \frac{sin \alpha }{cos \alpha }}\)
Warunek wygląda więc tak:
\(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{sin \alpha }{cos \alpha }}\)
czyli
\(\displaystyle{ cos \alpha =1 \vee sin \alpha =0}\)

b)
Tutaj również musisz podstawić \(\displaystyle{ tg \alpha = \frac{sin \alpha }{cos \alpha }}\)

[e1nzelstuck]

a mógłbyś mi to b) dokłądnie policzyć...? Bo wynik ma wyjść następujący
tga = \(\displaystyle{ frac{ sqrt{2 sqrt{5}-2 } }{2}\(\displaystyle{ vee \(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt{2 \sqrt{5}-2 } }{2}}\)}\)}\)

[czeslaw]

\(\displaystyle{ \alpha \neq \frac{\pi}{2}+k\pi (k \in C) \\ tg\alpha=cos\alpha \\ \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = cos\alpha \\ sin\alpha=cos^{2}\alpha \\ sin\alpha = 1-sin^{2}\alpha \\ sin^{2}\alpha + sin\alpha -1 = 0 \\ t=sin\alpha \qquad D_{t}=(-1;1) \\ t^{2} + t - 1 = 0 \\ t_{1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \qquad t_{2} = \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\ t_{1} \notin D_{t} \qquad\qquad\qquad t_{2} \in D_{t} \\ sin\alpha = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\)
Z wykresów funkcji \(\displaystyle{ sin\alpha}\) i \(\displaystyle{ tg\alpha}\) widać, że funkcje te na przedziale \(\displaystyle{ <0;2\pi>}\) przecinają się dwa razy: raz w pierwszej i raz w drugiej ćwiartce. W obu tych miejscach \(\displaystyle{ sin\alpha}\) przyjmuje wyznaczoną wartość \(\displaystyle{ \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\).
Za to \(\displaystyle{ cos\alpha}\) jest raz ujemny i raz dodatni, więc korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ cos\alpha=\sqrt{1-sin^{2}\alpha} \vee cos\alpha=-\sqrt{1-sin^{2}\alpha} \\ cos\alpha = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} \vee cos\alpha = -\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}\)

Z tego wynika, że
\(\displaystyle{ tg\alpha = \frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}} \vee tg\alpha = -\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}\\tg\alpha=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} \vee tg\alpha=-\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}\)
czyli dokładnie to co napisałaś.