wyznacz najwieksza i najmniejsza wartosc funkcji:
f(x)=|3sinx+3cosx|
f(x)=cosx+\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)cos2x
zbior wartosci funkcji
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
zbior wartosci funkcji
\(\displaystyle{ f(x)=|3 sin x+ 3 cos x|}\)
\(\displaystyle{ f(x)=|3( sin x + cos x)|}\)
Przekształcimy teraz wyrażenie \(\displaystyle{ sin x + cos x}\) korzystając z wzorku \(\displaystyle{ cos (x-y)=cos x cos y + sin x sin y}\). Zmieniamy kolejność w sumie i wyciągamy z niej pierwiastkek z dwóch otrzymując \(\displaystyle{ \sqrt{2} ( \frac{1}{ \sqrt{2}} cos x + \frac{ 1}{ \sqrt{2}} sin x )= \sqrt{2}( \frac{ \sqrt{2}}{2} cos x + \frac{ \sqrt{2}}{2} sin x)= \sqrt{2}( cos x cos 45^{\circ} + sin x sin 45^{\circ})= \sqrt{2} cos(x-45^{\circ})}\)
Wstawiamy przekształcone już wyrażenie do wzoru naszej funkcji i mamy:
\(\displaystyle{ f(x)=| 3 \sqrt{2} cos(x- 45^{\circ})|}\)
Oczywiście funkcja cosinus przyjmuje największą wartość równą jeden, więc największą wartością tej funkcji jest \(\displaystyle{ | 3 \sqrt{2} 1|=3 \sqrt{2}}\). Moduł przyjmuje najmniejszą wartość równą zero, więc jest to najmniejsza wartość tej funkcji.
\(\displaystyle{ f(x)=|3( sin x + cos x)|}\)
Przekształcimy teraz wyrażenie \(\displaystyle{ sin x + cos x}\) korzystając z wzorku \(\displaystyle{ cos (x-y)=cos x cos y + sin x sin y}\). Zmieniamy kolejność w sumie i wyciągamy z niej pierwiastkek z dwóch otrzymując \(\displaystyle{ \sqrt{2} ( \frac{1}{ \sqrt{2}} cos x + \frac{ 1}{ \sqrt{2}} sin x )= \sqrt{2}( \frac{ \sqrt{2}}{2} cos x + \frac{ \sqrt{2}}{2} sin x)= \sqrt{2}( cos x cos 45^{\circ} + sin x sin 45^{\circ})= \sqrt{2} cos(x-45^{\circ})}\)
Wstawiamy przekształcone już wyrażenie do wzoru naszej funkcji i mamy:
\(\displaystyle{ f(x)=| 3 \sqrt{2} cos(x- 45^{\circ})|}\)
Oczywiście funkcja cosinus przyjmuje największą wartość równą jeden, więc największą wartością tej funkcji jest \(\displaystyle{ | 3 \sqrt{2} 1|=3 \sqrt{2}}\). Moduł przyjmuje najmniejszą wartość równą zero, więc jest to najmniejsza wartość tej funkcji.