obliczanie kątów

[k8amil]

Mam problem z następującym przykładem (polecenie jest: "Oblicz"):


\(\displaystyle{ \frac{ sin^{2}37^\circ + cos^{2}127^\circ + 2 \cdot sin37^\circ \cdot cos487^\circ }{tg405^\circ + ctg225^\circ}}\)


Mi wyszło \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) , jednak spojrzałem na odpowiedzi i wynik tam jest 0, pewnie ja się, gdzieś pomyliłem, jak ktoś potrafi i ma chwilkę to proszę aby mi to policzył

[BettyBoo]

\(\displaystyle{ cos 127^\circ=-sin37^\circ}\)

Pozdrawiam

[lukasz1804]

Mamy \(\displaystyle{ \sin^{2}37^{o} + \cos^{2}127^{o}+ 2 \cdot\sin 37^{o}\cdot\cos 487^{o}=\sin^237^{o}+\cos^2127^{o}+2\sin 37^{o}\cos 127^{o}=(\sin 37^{o}+\cos 127^{o})^2=(\sin 37^{o}+\cos (90^{o}+37^{o}))^2=(\sin 37^{o}-\sin 37^{o})^2=0^2=0}\).

Oczywiście \(\displaystyle{ \tan 405^{o}+\cot 225^{o}=\tan 45^{o}+\cot 45^{o}=1+1=2\neq 0}\), więc całe dane wyrażenie ma wartość równą zeru.

[k8amil]

Mamy \(\displaystyle{ \sin^{2}37^{o} + \cos^{2}127^{o}+ 2 \cdot\sin 37^{o}\cdot\cos 487^{o}=\sin^237^{o}+\cos^2127^{o}+2\sin 37^{o}\cos 127^{o}=(\sin 37^{o}+\cos 127^{o})^2=(\sin 37^{o}+\cos (90^{o}+37^{o}))^2=(\sin 37^{o}-\sin 37^{o})^2=0^2=0}\).

Oczywiście \(\displaystyle{ \tan 405^{o}+\cot 225^{o}=\tan 45^{o}+\cot 45^{o}=1+1=2\neq 0}\), więc całe dane wyrażenie ma wartość równą zeru.

Nie do końca rozumiem jak to policzyłeś.

\(\displaystyle{ \sin^237^{o}+\cos^2127^{o}+2\sin 37^{o}\cos 127^{o}}\)

Nagle z tego robi Ci się tylko:

\(\displaystyle{ (\sin 37^{o}+\cos (90^{o}+37^{o}))^2}\)

A co się stało z:

\(\displaystyle{ 2\sin 37^{o}\cos 127^{o}}\)

??

[lukasz1804]

Tam jest zastosowany wzór na kwadrat sumy dwóch liczb.

[Antti Siltala]

Mamy \(\displaystyle{ \sin^{2}37^{o} + \cos^{2}127^{o}+ 2 \cdot\sin 37^{o}\cdot\cos 487^{o}=\sin^237^{o}+\cos^2127^{o}+2\sin 37^{o}\cos 127^{o}=(\sin 37^{o}+\cos 127^{o})^2=(\sin 37^{o}+\cos (90^{o}+37^{o}))^2=(\sin 37^{o}-\sin 37^{o})^2=0^2=0}\).

Oczywiście \(\displaystyle{ \tan 405^{o}+\cot 225^{o}=\tan 45^{o}+\cot 45^{o}=1+1=2\neq 0}\), więc całe dane wyrażenie ma wartość równą zeru.

A co w przypadku, gdybym nie zastosował wzoru skróconego mnożenia i obliczył licznik w ten sposób:

\(\displaystyle{ \sin^{2}37^{o} + \cos^{2}127^{o}+ 2 \cdot\sin 37^{o}\cdot\cos 487^{o}=\sin^237^{o}+\cos^2127^{o}+2\sin 37^{o}\cos 127^{o}=\sin^{2}37^{o}- \sin^{2}37^{o}+2\sin 37^{o}\cos 127^{o}=2\sin 37^{o} \cdot \left( -sin 37^{o}\right)=-2\sin^{2}37^{o}}\).

I kiedy podzielimy to przez mianownik

\(\displaystyle{ \frac{-2\sin^{2}37^{o}}{2}=-\sin^{2}37^{o}}\)

Sposób rozwiązania inny ale również poprawny (przynajmniej według mnie) więc dlaczego wynik nie wyszedł 0 ??

Tak, z ciekawości chciałem zapytać

[lukasz1804]

\(\displaystyle{ (...)=\sin^237^{o}+\cos^2127^{o}+2\sin 37^{o}\cos 127^{o}=\sin^{2}37^{o}- \sin^{2}37^{o}+2\sin 37^{o}\cos 127^{o}=2\sin 37^{o} \cdot \left( -sin 37^{o}\right)=-2\sin^{2}37^{o}}\).

Twoje rozumowanie jest błędne (\(\displaystyle{ \cos^2127^o\ne-\sin^237^o}\)). Mamy przecież \(\displaystyle{ \cos 127^o=\cos(90^o+37^o)=-\sin 37^o}\), więc \(\displaystyle{ \cos^2127^o=(\cos 127^o)^2=(-\sin 37^o)^2=\sin^237^o}\).
Idąc Twym tropem powinno być
\(\displaystyle{ (...)=\sin^237^{o}+\cos^2127^{o}+2\sin 37^{o}\cos 127^{o}=\sin^{2}37^{o}+ \sin^{2}37^{o}+2\sin 37^{o}\cos 127^{o}=2\sin^237^{o}+2\sin 37^{o} \cdot \left(-\sin 37^{o}\right)=2\sin^237^{o}-2\sin^{2}37^{o}=0}\).

[Antti Siltala]

Ok. Już rozumiem. Dzięki i pozdrawiam