Wyrażanie sinusa arytmetyką

[Maciek.mat]

Doczytałem gdzieś w internecie, że funkcje trygonometryczne są przestępne, czyli wielomian nie może wyrazić ich wartości, mając całkowite współczynniki. Starałem się kiedyś obliczyć pierwiastek wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=-4 t^{3} + 3 t - \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4}}\) za pomocą wzorów Cardano, ale sprowadziło to do funkcji trygonometrycznych, więc sprowadziło mnie to do punktu wyjścia. Same współczynniki wielomianu wyszły mi po zamianie \(\displaystyle{ sin 15^{o}}\) na \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4}}\) i zastosowaniu wzoru na potrójny kąt. Rozwiązaniem jest zatem \(\displaystyle{ sin 5^{o}}\), \(\displaystyle{ sin 55^{o}}\) i \(\displaystyle{ sin -65^{o}}\). Tylko moim zamierzeniem było zapisać te rozwiązania za pomocą pierwiastków, potęg, dodawania, mnożenia itd. Temat zakładam dlatego, że w Kompedium Funkcji na Matematyka.pl znalazłem rozwinięcie \(\displaystyle{ sin 18^{o}}\), więc pomyślałem, że ktoś zna takie metody dla innych kątów, jak ten \(\displaystyle{ sin 5^{o}}\).

[czeslaw]

no akurat \(\displaystyle{ sin5 ^{o}}\) to możesz znów ze wzoru na sinus kąta potrojonego, mylę się?

[Maciek.mat]

No właśnie nie potrafię rozwiązać tego wielomianu, który podałem i to jest sedno mojego problemu. Szybciej musiałbym znaleźć wzór na \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) kąta. Zwróciłem się z prośbą, czy potrafi ktoś obliczyć jego miejca zerowe tak, aby był przedstawiony arytmetycznie, a nie po prostu \(\displaystyle{ sin 5^{o}}\), czyli coś w rodzaju sprowadzenia funkcji kwadratowej do postaci iloczynowej. Można sobie nawet kalkulatorem sprawdzić, że miejscem zerowym wielomianu jest \(\displaystyle{ sin 5^{o}}\), \(\displaystyle{ sin 55^{o}}\) lub \(\displaystyle{ sin -65^{o}}\).

[czeslaw]

Rozumiem. Chodziło mi właśnie o wykorzystanie wzoru na \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) kąta. Można podać \(\displaystyle{ sin5^{o}}\) jako liczbę algebraiczną.

edit: aha, nie wiem jak to zrobić. Wzór na sinus potrojonego kąta to jest właśnie ten wielomian który podałeś. Z niego trzeba wyznaczyć t. Widziałem kiedyś na forum, jak ktoś podawał \(\displaystyle{ sin10^{o}}\) w postaci liczby algebraicznej, więc i \(\displaystyle{ sin5^{o}}\) też się musi dać. Ale już nie wiem jak. Możesz poszukać.

[Maciek.mat]

\(\displaystyle{ sin 10^{o}}\) też jest gdzieś na forum? Ja widziałem tylko z 18 w Kompendium.
Ja też wiem, że ten wielomian jest wzorem na potrojony kąt i go kiedyś tam wyprowadziłem. Zabrałem się za liczenie miejsc zerowych, czyli rozwiązań, a tu klaps. Łaziłem po stronach omawiających rozwiązywanie równań trzeciego stopnia i były podane wzory Cardano, ale działały tylko wtedy, gdy delta jest większa od zera. W tym akurat delta jest mniejsza od zera, więc nie można było spierwiastkować, a o przechodzeniu z rozwiązań urojonych do rzeczywistych nic nie było napisane. Problem pozostał jak na razie nie rozwiązany.

[frej]

Dzięki Maciek.mat za pomysł, zaraz postaram się napisać post w kompendium o \(\displaystyle{ sin 10^\circ}\). Jak liczyłem na kartce, to wydaje mi się, że znam drogę wyliczenia tego przy pomocy wzorów Cardano, idzie bardzo łatwo.-- 15 maja 2009, 21:26 --Pomyłka

[Maciek.mat]

Pomyłka, bo \(\displaystyle{ sin 10^{o}}\) według wzorów Cardano sprowadzi do ujemnej delty, co nie pozwala na otrzymanie rzeczywistego wyniku. Akurat tu te wzory są bezsilne.

[frej]

Akurat widać, że nie wiesz do końca o co chodzi z deltą ujemną

Przy ujemnej delcie wszystko jest dobrze. Liczysz zespolone sprzężone pierwiastki z delty, w tym przypadku są aż trzy rzeczywiste pierwiastki. Jest to tzw. casus incredibilus ( czy jakoś tak ). Tylko w tym miejscu też potrzebne jest jeszcze jedno równanie sześcienne do rozwiązania, żeby wyznaczyć zespolony pierwiastek sześcienny z zespolonego rozwiązania rezolwenty, czyli równania rozwiązującego.

[Rogal]

Szkoda, że nie mam siły dokończyć artykułu w Kompendium na ten temat.
W każdym razie mogę podzielić się wiedzą, która jest do tej pory w głowie, a kiedyś może się pojawi.
Otóż ani \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{18}}\) ani \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{36}}\) nie wyraża się poprzez skończoną liczbę czterech podstawowych działań arytmetycznych i pierwiastkowania.
Co zabawniejsze, są to liczby algebraiczne (bo sin 10 spełnia równość \(\displaystyle{ 8x^{3} - 6x + 1 = 0}\), jeśli dobrze pamiętam, no a wtedy sin 5 jest równy \(\displaystyle{ \sin 5^{o} = \sqrt{\frac{1-\cos 10^{o}}{2}}}\), a cos 10 jest algebraiczny, bo sinus jest, a znamy zależność między nimi, a pierwiastkowanie nas nie wyprowadza poza zbiór liczb algebraicznych).
Jeśli chodzi o całkowite wielokrotności stopni, to sinus wszystkich wielokrotności trzech stopni się daje wyrazić za pomocą wspomnianej skończonej ilości czterech działań i pierwiastkowania.
Gdyby i ten sin 5 dał się tak wyrazić, to stąd prosta droga, że sin 1 również tak można wyrazić, a widziałem kiedyś elementarny dowód, że tego zrobić się nie da.
Powyższe zaś fakty (o wyrażalności sin 5) są efektami teorii ciał, a prawdopodobnie najszybciej daje się je dowieść korzystając z teorii Galois, ale tutaj dopiero pewne sprawy muszę sobie przemyśleć.
Dodam, że sam problemem sinusa dziesięciu stopni zajmowałem się od trzeciej gimnazjum i aż na studia mnie to zaprowadziło

[czeslaw]

Czyli jednak nie miałem szans widzieć rozwinięcia sinusa dziesięciu stopni na forum? Dałbym głowę, że napisałeś to kiedyś. Właśnie Ty.

[Rogal]

Ha, pisałem właśnie w takiej samej kwestii, co Maciek - myślałem, że przecież tylu tutaj mądrych ludzi, to mi odpowiedzą. Jednak odpowiedź poznałem tak naprawdę dzięki ś.p. prof. Sierpińskiemu i Jego "Zasadom algebry wyższej". Mimo, że formalnie do końca nie rozumiem dowodu przez niego przedstawionego, to intuicyjnie "czuję", że tak musi być. A przemyśleć to muszę właśnie na gruncie teorii Galois, bo sądzę, że dzięki niej ten dowód będzie prostszy.

[Maciek.mat]

A tą książkę Sierpińskiego to szybciej dostanę w księgarni czy w antykwariacie?
Ten wielomian z całkowitymi współczynnikami, którego rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ sin 10^{o}}\), jest dobry, ale Twój sinus z 5 stopni nie za bardzo, coś w nim umkło.
Czyli da rady przedstawić \(\displaystyle{ sin 10 ^{o}}\)? No bo jakoś tak zrozumiałem, że Sierpiński go przedstawił, acz w sposób nie do końca zrozumiały.

[abc666]

... sPi18.html

[Maciek.mat]

Jeśli ktoś ma w kalkulatorze przycisk, który zapamiętuje ostatni wynik (w moim kalkulatorze nazywa się Ans), to można tego sinusa otrzymać, wpisując w kalkulator: \(\displaystyle{ \sqrt{Ans + x}}\). Tu akurat \(\displaystyle{ x}\) to każda liczba dodatnia. Należy dwa razy przycisnąć na kalkulatorze \(\displaystyle{ =}\), a potem zmienić \(\displaystyle{ +}\) na \(\displaystyle{ -}\) i raz pocisnąć \(\displaystyle{ =}\). Potem zmienić \(\displaystyle{ -}\) na \(\displaystyle{ +}\) i pocinąć dwa razy \(\displaystyle{ =}\) i czynność się powtarza. Na końcu podzielić przez 2. W ten sposób można otrzymać \(\displaystyle{ sin 10 ^{o}}\), ale w sumie trochę to podobne do rozwijania funkcji w szereg potęgowy.

[Sherlock]

A tą książkę Sierpińskiego to szybciej dostanę w księgarni czy w antykwariacie?

Wacław Sierpiński, Zasady algebry wyższej, ... =10&jez=pl