suma sinusów w trojkącie

[alchemik]

Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) są kątami w trójkącie to prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ \sin{\alpha}+\sin{\beta}+\sin{\gamma} \le \frac{3 \sqrt{3}}{2}}\)

[frej]

sinus jest wklęsły, więc z Jensena jest to oczywiste.

[alchemik]

Ok prawda, że Jensenem, ale może wie ktoś jak to można zrobić inaczej?
Po prostu nie lubie Jensena

Edit.
Dobra wybrzydzam, tu aż prosi się o Jensena, dzięki.

[bosa_Nike]

Trochę to wymęczone, ale bez Jensena.

\(\displaystyle{ \sin\alpha +\sin\beta +\sin\gamma=2\sin\frac{\alpha +\beta}{2}\cos\frac{\alpha -\beta}{2}+\sin\left(\pi -(\alpha +\beta )\right)\le\\ 2\sin\frac{\alpha +\beta}{2}+\sin (\alpha +\beta )=2\sin\frac{\alpha +\beta}{2}\left(1+\cos\frac{\alpha +\beta}{2}\right)=...}\)

Niech \(\displaystyle{ \frac{\alpha +\beta}{2}=2\delta,\ \ \tg\delta =x}\), przy czym \(\displaystyle{ 0<x<1}\), bo \(\displaystyle{ 0<\delta<\frac{\alpha +\beta +\gamma}{4}=\frac{\pi}{4}}\).

\(\displaystyle{ ...=2\cdot\frac{2\tg\delta}{1+\tg^2\delta}\cdot\left(1+\frac{1-\tg^2\delta}{1+\tg^2\delta}\right)=\frac{8x}{\left(1+x^2\right)^2}=\frac{8}{\left(x^{-1/2}+x^{3/2}\right)^2}=\\ \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{4}{\frac{x^{-1/2}}{3}+\frac{x^{-1/2}}{3}+\frac{x^{-1/2}}{3}+x^{3/2}}\right)^2\le\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt[4]{\frac{x^{-1/2}}{3}\cdot\frac{x^{-1/2}}{3}\cdot\frac{x^{-1/2}}{3}\cdot x^{3/2}}}\right)^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\)

Ostatnia nierówność z AM-GM.

Warunki równości: \(\displaystyle{ \frac{x^{-1/2}}{3}=x^{3/2}\ \Rightarrow\ x=\tg\delta=\frac{\sqrt{3}}{3}\ \Rightarrow\ 2\delta=\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{\pi}{3}}\) z drugiego oszacowania oraz \(\displaystyle{ \cos\frac{\alpha -\beta}{2}=1\ \Rightarrow\ \alpha =\beta}\) z pierwszego oszacowania, stąd \(\displaystyle{ \alpha =\beta =\gamma =\frac{\pi}{3}}\).

[alchemik]

Chylę czoła, dzięki!