Nie mam pojecia jak przedstawic to wyrazenie w prostszej postaci a w piatek mam sprawdzian. Gdyby tak ktos moglby wytłumaczyc albo zrobic i ja wtedy sama sobie wytlumacze.
a) \(\displaystyle{ (cos \alpha \cdot tg \alpha ) ^{2} - (sin \alpha \cdot ctg \alpha ) ^{2}}\)
b) \(\displaystyle{ sin \alpha (sin \alpha +ctg \alpha -cos \alpha )}\)
I jeszcze nie wiem jak uzasadnic ze nie istnieje kąt ostry spełniający warunek:
\(\displaystyle{ \frac{tg \alpha }{sin \alpha } = \frac{1}{2}}\)
Przedstaw wyrazenia w prostszej postaci
-
seppuku
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 12 maja 2009, o 12:02
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 8 razy
Przedstaw wyrazenia w prostszej postaci
Jestem pewny co do a):
\(\displaystyle{ (cos \alpha \cdot tg \alpha ) ^{2} - (sin \alpha \cdot ctg \alpha ) ^{2}}\)
Z definicji tangensa i cotangensa:
\(\displaystyle{ tg\alpha= \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{1}{ctg\alpha}}\)
Więc:
\(\displaystyle{ (cos \alpha \cdot \frac{sin\alpha}{cos\alpha} ) ^{2} - (sin \alpha \cdot \frac{cos\alpha}{sin\alpha} ) ^{2}=sin^{2}\alpha-cos^{2}\alpha}\)
I to moim zdaniem najprostsza postać...
\(\displaystyle{ (cos \alpha \cdot tg \alpha ) ^{2} - (sin \alpha \cdot ctg \alpha ) ^{2}}\)
Z definicji tangensa i cotangensa:
\(\displaystyle{ tg\alpha= \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{1}{ctg\alpha}}\)
Więc:
\(\displaystyle{ (cos \alpha \cdot \frac{sin\alpha}{cos\alpha} ) ^{2} - (sin \alpha \cdot \frac{cos\alpha}{sin\alpha} ) ^{2}=sin^{2}\alpha-cos^{2}\alpha}\)
I to moim zdaniem najprostsza postać...
-
agulka1987
- Użytkownik
- Posty: 3090
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 879 razy
Przedstaw wyrazenia w prostszej postaci
\(\displaystyle{ (cos \alpha \cdot tg \alpha ) ^{2} - (sin \alpha \cdot ctg \alpha ) ^{2} = (cos\alpha \cdot \frac{sin\alpha}{-cos\alpha})^2 - (sin\alpha \cdot \frac{cos\alpga}{sin\alpha})^2 = sin^2 \lapha - cos^2\alpha = -(cos^2\lapha - sin^2\alpha) = -cos2\alpha}\)
\(\displaystyle{ \frac{tg \alpha }{sin \alpha } = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{sin\alpha}{cos\alpha} }{sin\alpha} = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{cos\alpha} = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha = 2}\)
sprzecznośc gdyż \(\displaystyle{ cos\alpha}\) przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ <-1, 1>}\)
\(\displaystyle{ \frac{tg \alpha }{sin \alpha } = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{sin\alpha}{cos\alpha} }{sin\alpha} = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{cos\alpha} = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha = 2}\)
sprzecznośc gdyż \(\displaystyle{ cos\alpha}\) przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ <-1, 1>}\)
-
seppuku
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 12 maja 2009, o 12:02
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 8 razy
Przedstaw wyrazenia w prostszej postaci
Racja, Nakahed90. Lub też, z tożsamości pitagorejskiej (tzw. jedynki trygonometrycznej):
\(\displaystyle{ sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1 \Rightarrow cos^{2}\alpha=1-sin^{2}\alpha}\)
Wtedy najprostsza postać:
\(\displaystyle{ sin^{2}\alpha-cos^{2}\alpha=sin^{2}\alpha-(1-sin^{2}\alpha)=2sin^{2}\alpha-1}\)
Tylko nie wiem, co jest prostszą postacią: \(\displaystyle{ cos2\alpha}\) czy \(\displaystyle{ 2sin^{2}\alpha-1}\)... Ale chyba jednak cosinus kąta podwójnego.
\(\displaystyle{ sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1 \Rightarrow cos^{2}\alpha=1-sin^{2}\alpha}\)
Wtedy najprostsza postać:
\(\displaystyle{ sin^{2}\alpha-cos^{2}\alpha=sin^{2}\alpha-(1-sin^{2}\alpha)=2sin^{2}\alpha-1}\)
Tylko nie wiem, co jest prostszą postacią: \(\displaystyle{ cos2\alpha}\) czy \(\displaystyle{ 2sin^{2}\alpha-1}\)... Ale chyba jednak cosinus kąta podwójnego.
Przedstaw wyrazenia w prostszej postaci
a czy co do podpunktu b mogloby byc tak:
\(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha + sin \cdot \frac{cos \alpha }{sin \alpha } -sin \alpha -cos \alpha =
sin ^{2} \alpha + cos \alpha -sin \alpha -cos \alpha =
sin ^{2} \alpha -sin \alpha}\)
DZIĘKUJĘ ZA POPRZEDNIE!!
\(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha + sin \cdot \frac{cos \alpha }{sin \alpha } -sin \alpha -cos \alpha =
sin ^{2} \alpha + cos \alpha -sin \alpha -cos \alpha =
sin ^{2} \alpha -sin \alpha}\)
DZIĘKUJĘ ZA POPRZEDNIE!!