Okres właściwy, wyznaczanie zbioru wartości.

[agazmc]

Wyznacz zbiór wartości funkcji:
1)\(\displaystyle{ f(x) = \cos ( \frac{\pi}{3}[\sin x])}\)
2) \(\displaystyle{ f(x)= \frac{-3}{sin^{2}x -6\sin x +9 }}\)

Wyznacz okres właściwy funkcji:
1) \(\displaystyle{ f(x)= \cos 2x+\cos \frac{x}{3}}\)
2) \(\displaystyle{ f(x)= \tan\frac{2 \pi x}{5} + \cot\frac{2 \pi x}{3}}\)

[bedbet]

I.

1.)

\(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}\\
\\
-1\leq\sin x\leq 1\\
\\
-1\leq [\sin x]\leq -1\\
\\
-\frac{\pi}{3}\leq\frac{\pi}{3}[\sin x]\leq -\frac{\pi}{3}\\
\\
\frac{1}{2}\leq\cos\left(\frac{\pi}{3}[\sin x]\right)\leq 1}\)

Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ [\sin x]}\) jest stała i określona na przedziale \(\displaystyle{ ((2k-1)\pi,k\pi) \ , \ k\in\mathbb{Z}}\). Przejście do kosinusa pozostawiam Tobie. Generalnie należy sobie przeanalizować złożenie funkcji trygonometrycznej z funkcją entier.

2.)

Wskazówka: Zauważ, że w mianowniku mamy kolejne złożenie dwóch znanych funkcji.

II.

Wskazówka: Skorzystaj najpierw ze wzoru na sumę kosinusów i tangensów (bądź kotangensów) odpowiednio.

[BettyBoo]

1) [sinx] może przyjmować tylko wartości -1,0 lub 1, więc f może przyjmować tylko wartości 0 lub 1/2.

2) mianownik po przekształceniu ma postać \(\displaystyle{ (sinx-3)^2}\). ustal wartości jakie może przyjmować i stąd masz możliwe wartości całej funkcji

Co do drugiej części - masz na myśli okres podstawowy?
Ustal okresy (wszystkie możliwe) obu składników. Okresem podstawowym funkcji będzie taka najmniejsza liczba dodatnia, która jest jednocześnie okresem obu funkcji.

Pozdrawiam.

[bedbet]

BettyBoo sprawdź swoją odpowiedź na pierwsze zadanie.

[BettyBoo]

No fakt, cuś oszukuję, miało być 1/2 i 1.

Nie rozumiem Twojej odpowiedzi - przecież podłoga jest określona dla każdej liczby rzeczywistej....

Pozdrawiam.

[bedbet]

Przeprasza. Chodziło mi o to jaką wartość przyjmuje na tym przedziale.