Miary kątów alfa/beta

[Marcin_Garbacz]

Oblicz miary kątów \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) wiedząć, że \(\displaystyle{ sin(\alpha-\beta)= \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ cos(\alpha+\beta)= \frac{1}{2}}\).

Ogolnie to zadanie wydaje sie banalne ale zalozmy ze nie chcialbym robic metoda:


\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha-\beta=30 \\ \alpha+\beta=60 \end{cases}}\)

Tylko np korzystajac z wzorow.

\(\displaystyle{ sin\alph*acos\alpha-cos\alpha*sin\beta-cos\alpha*cos\beta+sin\alpha*sin\beta=0}\)
\(\displaystyle{ (cos\beta+sin\beta)(sin\alpha-cos\alpha)=0}\)

Czy na podstawie tego moge odczytac rozwiazania? Jak odczytac z takiego zapisu odpowiednie wartosci katow?

[lina2002]

Zauważ, że dokonałeś przkształcenia nierónoważnego: odjąłeś stronami. Z tego, że \(\displaystyle{ a= \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ b= \frac{1}{2}}\) wynika, że \(\displaystyle{ a-b=0}\),ale z tego, że a-b=0 nie wynika, że \(\displaystyle{ a= \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ b= \frac{1}{2}}\). Zauważ, że z Twojego równania wynika, że \(\displaystyle{ cos \beta + sin\beta=0}\) lub \(\displaystyle{ sin \alpha-cos \alpha=0}\). Tak więc znaczyłoby to, że jeżeli \(\displaystyle{ sin \alpha=cos \alpha}\) to \(\displaystyle{ \beta}\) może być dowolne, co oczywiście nie jest prawdą, więc w ten sposób tego nie rozwiążesz.

[Marcin_Garbacz]

No ale dalej nie rozumiem

Bo ja to zapisałem troche na skóry bo nie chciało mi sie wszytskie pisać. Robiłem to tak:

\(\displaystyle{ sin\Alpha*cos\Beta - cos\Alpha*sin\Beta= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha*cos\beta-sin\alpha*sin\beta= \frac{1}{2}}\)

No i teraz pomyslalem jak obydwa sa rowne 1/2 to moge je przyrownac do siebie.

\(\displaystyle{ sin\Alpha*cos\Beta - cos\Alpha*sin\Beta=cos\alpha*cos\beta-sin\alpha*sin\beta}\)
\(\displaystyle{ sin\Alpha*cos\Beta - cos\Alpha*sin\Beta-cos\alpha*cos\beta+sin\alpha*sin\beta=0}\)
\(\displaystyle{ (cos\beta+sin\beta)(sin\alpha-cos\alpha)=0}\)

Naprawde tak nie wolno?

[lina2002]

Naprawdę .
Zauważ, że jakbys miał np.
\(\displaystyle{ sin\Alpha*cos\Beta - cos\Alpha*sin\Beta= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha*cos\beta-sin\alpha*sin\beta= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\), to również mógłbyś zapisać:
\(\displaystyle{ sin\Alpha*cos\Beta - cos\Alpha*sin\Beta=cos\alpha*cos\beta-sin\alpha*sin\beta}\)

I co zadziwiające , ale wychodzą te same rozwiązania . Jakby było \(\displaystyle{ sin(\alpha-\beta)= 2}\) i \(\displaystyle{ cos(\alpha+\beta)=2}\), to twoją metodą też by wyszło, a chyba coś tu nie gra . Zawsze musisz sie zastanowić jak wykonujesz jakąś operację, czy zachodzi wynikanie w obie strony.