Równania trygonometryczne

[mcmcjj]

Rozwiąż równania:

a) \(\displaystyle{ 3 + 4cos(0,5x) = -1}\)

b) \(\displaystyle{ 2sin3x = -\sqrt{2}}\)

c) \(\displaystyle{ 3ctg(2x + \pi) = -\sqrt{3}}\)

d) \(\displaystyle{ 1 + tg^{2}(\frac{\pi - x}{2}) = [1 + tg(\frac{\pi - x}{2})]^{2}}\)

[Etamin]

a)
\(\displaystyle{ 3+4\cos(0,5x) = -1\\
4\cos(0,5x) = -4\\
\cos(0,5x) = -1\\
(0,5x = -\pi + 2k\pi \ \vee \ 0,5x = \pi + 2k\pi) \ \wedge \ k \in C\\
(x = -2\pi + 4k\pi \ \vee \ x = 2\pi + 4k\pi) \ \wedge \ k \in C\\}\)

b)
\(\displaystyle{ 2\sin3x = \sqrt{2}\\
\sin3x = - \frac{\sqrt{2}}{2}\\
(3x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \ \vee \ 3x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi) \ \wedge \ k \in C\\\\
(x = \frac{5\pi}{12} + \frac{2k\pi}{3} \ \vee \ x = \frac{7\pi}{12} + \frac{2k\pi}{3}) \ \wedge \ k \in C\\}\)

c)
\(\displaystyle{ 3\ctg(2x+\pi) = -\sqrt{3}\\
\ctg(2x+\pi) = - \frac{\sqrt{3}}{3}\\
2x+\pi = \frac{2\pi}{3} + k\pi \ \wedge \ k \in C\\\\
2x = -\frac{\pi}{3} + k\pi \ \wedge \ k \in C\\\\
x = -\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2} \ \wedge \ k \in C\\}\)

d)
\(\displaystyle{ 1 + \tg^{2}( \frac{\pi - x}{2}) = [1 + \tg(\frac{\pi - x}{2})]^{2}\\
1 + \tg^{2}( \frac{\pi - x}{2}) = 1 + 2\tg(\frac{\pi - x}{2}) + \tg^{2}(\frac{\pi - x}{2})\\
\tg(\frac{\pi - x}{2}) = 0\\
\frac{\pi - x}{2} = k\pi \ \wedge \ k \in C\\
\pi - x = 2k\pi \ \wedge \ k \in C\\
x = \pi(1 - 2k) \ \wedge \ k \in C}\)

[mcmcjj]

A jak rozwiązać coś postaci \(\displaystyle{ tg2x = tg x}\) lub \(\displaystyle{ cos(2x - \frac{\pi}{6}) - cos(x + \frac{\pi}{6}) = 0}\) ?

[RyHoO16]

Co do pierwszego możesz rozpisać sobie;

\(\displaystyle{ \frac{\sin 2x}{\cos 2x}= \frac{\sin x}{\cos x}}\), tylko nie zapomnij o dziedzinie

a drugie już z wykorzystaniem wzoru na różnicę cosinusów.

[mcmcjj]

To pierwsze można chyba tak:

\(\displaystyle{ tg2x = tg x}\)

\(\displaystyle{ 2x = x + k\pi}\)

\(\displaystyle{ x = k\pi, k \in Z}\)

[RyHoO16]

Też można nawet prościej jak widać

[mcmcjj]

Mam jeszcze z tym problem:

1) \(\displaystyle{ cos^{2}3x = \frac{1}{2}cos3x}\)
2) \(\displaystyle{ sin^{2}(\frac{1}{2}x) + 1 = 2sin(\frac{1}{2}x)}\)
3) \(\displaystyle{ ctg^{3}x = 3ctg x}\)

[RyHoO16]

1)
\(\displaystyle{ \cos 3x\left(\cos 3x- \frac{1}{2}\right)=0}\)

2)
\(\displaystyle{ \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)-2\left( \frac{x}{2} \right)+1=0}\)

\(\displaystyle{ \left(\sin \left( \frac{x}{2} \right)-1\right)^2=0}\)

3)
\(\displaystyle{ \ctg x( \ctg^2 x -3)=0}\)

[mcmcjj]

Dzięki za zainteresowanie też tak kombinowałem, ale nie wiem, jak w tych 3 równaniach dojść do wyniku takiej postaci jak wcześniej
(np. \(\displaystyle{ x = \pi + 4k\pi}\)). Wiem tylko, że w 1 i 3 będą 3 rozwiązania, a w 2 jedno.

[RyHoO16]

Dla przykładu zrobię a)

\(\displaystyle{ \cos 3x = 0 \vee \cos 3x = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ 3x= \frac{\pi}{2}+ k \pi}\) oraz \(\displaystyle{ 3x= \frac{\pi}{3}+2 k \pi \ \ \vee \ \ 3x= \frac{5 \pi}{3}+2k \pi}\)

[mcmcjj]

Hmmm... ale w odpowiedziach jest napisane, że:

1) \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \vee x = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} \vee x = - \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}, k \in Z}\) ,a

\(\displaystyle{ 3x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi}\), a to jest \(\displaystyle{ x = \frac{5\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}}\)

[RyHoO16]

Ale to jest to samo

[mcmcjj]

No już wiem o co chodzi. Dzięki za pomoc

[R33]

\(\displaystyle{ 3x= \frac{\pi}{2}+ k \pi}\)

Czemu okres wynosi \(\displaystyle{ k \pi}\), a nie \(\displaystyle{ 2k \pi}\)