funkcje trygonometryczne kąta ostrego

[martiiii92]

1)W trójkącie równoramiennym dana jest długość podstawy a=5cm i miara kąta przy podstawie a=30stopni wyznacz długość pozostałych boków trójkąta miary kątów oraz pole tego trójkąta.

2)W prostokącie dana jest dł przekątnej d=3,6 cm oraz miara kąta zawartego między przekątnymi a-120 stopni. Oblicz dł boków tego prostokąta.

3)Dłuższa przekątna rombu ma dł 15 cm wiedząc że miara kąta rozwartego rombu jest równa 120 stopni oblicz długość boku rombu

4)Promienie słoneczne padają pod kątem 18stopni do powierzchni stawu Oblicz długość cienia który rzuca drzewo mające 18 m wysokości i stojące nad brzegiem stawu

[matshadow]

1)
długość ramienia to b
\(\displaystyle{ \cos 30^{o}=\frac{\frac{a}{2}}{b} \Rightarrow b=a\sqrt{3}}\)
Drugi kat przy podstawie to też \(\displaystyle{ 30^{o}}\), więc trzeci kąt to \(\displaystyle{ 120^{o}}\)
Pole obliczymy ze wzoru \(\displaystyle{ S=a\cdot b\frac{\sin\angle(a,b)}{2}}\)
\(\displaystyle{ S=b^2\frac{\sin 120^{o}}{2}=a^2\frac{\sqrt{3}}{12}}\)

[piotrekd4]

2) skoro kąt rozwarty ma \(\displaystyle{ 120^{o}}\) to kąt ostry będzie miał \(\displaystyle{ 60^{o}}\). Łatwo zauważyć, że przekątne trójkąta \(\displaystyle{ d}\) wyznaczają 2 pary trójkątów. Jedna z nich to para trójkątów równobocznych o bokach długości \(\displaystyle{ \frac{1}{2}d}\). Tym samym wiemy już, że długość krótszego z boków będzie równa 1,8cm. Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość dłuższego boku. \(\displaystyle{ (1,8)^2 + a^{2} = (3,6)^{2}}\) Więc \(\displaystyle{ a = \frac{9 \sqrt{3} }{5}}\)

3) długość boku rombu oznaczamy jako a. Rysując dłuższą przekątną długości 15 otrzymujemy 2 trójkąty równoramienne o podst. d = 15 i ramionach długości a. Rysujemy wysokość tego trójkąta h z wierzchołka o kącie 120 stopni na dłuższą przekątną, która jest zarazem podstawą naszego trójkąta. Otrzymujemy trójkąty prostokątne o kątach 90, 30, 60 stopni. Wykorzystując cosinus 30 wyliczamy a. Otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{15}{2a} = cos30^{o}}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{15}{2a} = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\). Stąd wyliczamy: \(\displaystyle{ a= \frac{15 \sqrt{3} }{3}}\)

[matshadow]

2) Przekątne w prostokącie się połowią, więc z tw cosinusów:
\(\displaystyle{ b^2=1,8^2+1,8^2-2\cdot 1,8^2\cos 120^{o}=3\cdot 1,8^2 \Rightarrow b=1,8\sqrt{3}}\)
Z tw pitagorasa:
\(\displaystyle{ 3,6^2=a^2+b^2 \Rightarrow a=\sqrt{3,6^2-b^2}=1,8}\)