Równania funkcji trygonometrycznych

[MateuszS]

Jestem na rozszerzonej matmie ale z tego co on nauczyciel klepie nic nie rozumiem i mam takie zadanie, bardzo bym prosil o pomoc w rozwiazaniu.

Rozwiaz rowniania
\(\displaystyle{ a) \frac{sin x}{4x} = 0}\)
\(\displaystyle{ b) sin x \cdot cos x - sin ^{2}x - cos x + sin x = 0}\)
\(\displaystyle{ c) \frac{cos^{2}x - 1}{sin x} + sin^{3}x = 0}\)
\(\displaystyle{ d) tg^{2}x \cdot cos x + 4cos^{3}x = ctg x \cdot sin x + \frac{1}{cos x}}\)


Pozdrawiam

[matshadow]

a)
\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{4x}=0 \Leftrightarrow \sin x=0 \Leftrightarrow x=k\Pi \wedge k\ne 0}\)

c)
\(\displaystyle{ \frac{\cos^2 x-(\sin^2 x+\cos^2 x)}{\sin x}+\sin^3 x=0\\-\sin x+\sin^3 x=0 \Leftrightarrow -\sin x(1-\sin^2 x)=0 \Leftrightarrow \sin x=0\vee\sin^2 x=1 \Leftrightarrow\\\sin x=0\vee\sin x=1\vee\sin x=-1 \Leftrightarrow x=\frac{\Pi}{2}+k\Pi\vee \begin{cases}x=k\Pi\\k\ne 0\end{cases}}\)
Sin x różne od zera musi być, jak słusznie zauważył Nakahed90, więc k różne od zera jak \(\displaystyle{ x=k\Pi}\)

[Nakahed90]

W pierwszym jeszcze założenie, że \(\displaystyle{ k\neq0}\)-- 5 maja 2009, 12:24 --W c dziedzina odrzuca przypadek sinx=0

[matshadow]

poprawione, dzięki za uwagę

[MateuszS]

Super dzięki, teraz jeszcze takie coś. Dlaczego w a sin x jest rownowazne z 0 ? W c to samo. U nas jest troche inna metoda robione ale przerobie sobie. A z b i d da sie cos zrobic? Pozdrawiam i dziekuje

[matshadow]

a) bo mianownik nie może być zerem, więc licznik musi być zerem żeby całość była zero
c) to jest tak jak to: \(\displaystyle{ a\cdot c=0}\), czyli albo a albo c jest zerem Ale u nas \(\displaystyle{ \sin x}\) nie może być zerem, bo jest w równaniu wyjściowym w mianowniku

b)
\(\displaystyle{ \sin x\cos x-\sin^2 x -\cos x+\sin x=0\\\sin^2 x-\sin x(1+\cos x) + \cos x=0\\\Delta=(1+\cos x)^2-4\cos x=(1-\cos x)^2\\t_1=\frac{1+\cos x-(1-\cos x)}{2}=\cos x\\t_2=\frac{1+\cos x+(1-\cos x)}{2}=1}\)
Mamy więc dwa rozwiązania: \(\displaystyle{ \sin x=\cos x\vee\sin x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\Pi}{4}+k\Pi\vee x=\frac{\Pi}{2}+2k\Pi}\)