Liczenie wartości wyrażenia z podanych stosunków boków

[winfast29]

Dany jest trójkąt prostokątny, w którym a i b oznaczają przyprostokatne, \(\displaystyle{ \alpha}\) jest miarą kąta ostrego leżącego naprzeciw a. Wiadomo, że \(\displaystyle{ sin \alpha= \frac{ \sqrt{10} }{10}}\). Oblicz tg i boki ? Muszę mieć długości boków aby wyliczyć wyrażenie.

[Poodzian]

Skoro trójkąt jest prostokątny, to długość przeciwprostokątnej (dajmy na to, \(\displaystyle{ c}\)) można łatwo wyznaczyć z twierdzenia Pitagorasa
\(\displaystyle{ c=\sqrt{a^2+b^2}}\)

A tangensy kątów? Z zależności pomiędzy sinusami, cosinusami tych samych kątów
Wiadomo bowiem, że \(\displaystyle{ \tan \alpha =\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}\)

Ponadto \(\displaystyle{ \sin^2 \alpha +\cos^2 \alpha =1}\)
\(\displaystyle{ \cos^2 \alpha =1-\sin^2 \alpha}\)

\(\displaystyle{ \cos \alpha =\sqrt{1-\sin^2 \alpha}}\)
Zatem \(\displaystyle{ \tan \alpha =\frac{\sin \alpha}{\sqrt{1-\sin^2 \alpha}}}\)

Tangens kąta prostego jest znany, a więc mamy go z głowy
Pozostaje jeszcze trzeci kąt - tutaj można jednak wykorzystać wzory redukcyjne
\(\displaystyle{ \tan \beta = \tan (90^o-\alpha) =\ctg \alpha}\), a wiadomo przecież, że \(\displaystyle{ \ctg \alpha =\frac{1}{\tan \alpha}}\)