Tożsamości trygonometryczne, wartość wyrażenia

[WojU]

\(\displaystyle{ a) \cos\frac{\pi}{5}*\cos\frac{2*\pi}{5}=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ b) \cos\frac{\pi}{5}*\cos\frac{3*\pi}{5}=-\frac{1}{4}}\)

frej

[frej]

1. Pomnóż przez \(\displaystyle{ \frac{2\cdot 2 \cdot sin \frac{\pi}{5}}{4sin \frac{\pi}{5}}}\) i skorzystaj ze wzoru na sinus podwójnego kąta, potem wzór redukcyjny.

-- 27 kwietnia 2009, 18:40 --

2. Można na przykład tak:

\(\displaystyle{ cos 3x=4cos^3 x - 3 cosx}\)

\(\displaystyle{ t=cos^2 \frac{\pi}{5}}\) i równanie kwadratowe, którego znajdujesz pierwiastki plus to.

-- 27 kwietnia 2009, 18:52 --

2. Inaczej, niech \(\displaystyle{ \zeta = e^{\frac{i\pi}{5}}}\)

Nasza lewa strona przyjmuje postać

\(\displaystyle{ L=\frac{( \zeta + \zeta^{9} )(\zeta^3 + \zeta^7 ) }{4}}\)

przy czym \(\displaystyle{ \zeta^{5} =-1}\) czyli \(\displaystyle{ \zeta^4 - \zeta^3 + \zeta^2 - \zeta =-1}\)

\(\displaystyle{ 4L=\zeta^4 + \zeta^8 + \zeta^{12} + \zeta^{16} = \zeta^4 - \zeta^3 + \zeta^2 - \zeta =-1}\)

Oczywiście tę samą metodę można zastosować w pierwszym przykładzie

A to chyba będzie najprostsza metoda

Dodajesz \(\displaystyle{ a)}\) do \(\displaystyle{ b)}\) i całe zadanie sprowadza się do pokazania, że

\(\displaystyle{ cos \frac{2\pi}{5} = - cos \frac{3\pi}{5} = cos(\pi - \frac{3\pi}{5} ) = cos\frac{2\pi}{5}}\)

Czyli zrobione.

[WojU]

mógłbyś jaśniej? bo znam dopiero początki trygonometrii i nie mam pojęcia jak do tego doszedłeś

[frej]

Czego nie rozumiesz?

Najprostszą metodą w b) jest ostania. Tych wcześniejszych do b) nie musisz czytać.

[WojU]

ta ostatnią metodę rozumiem. ale czy w niej nie udowadniam tylko przeciwstawności dwóch wyrażeń? Ja mam chyba udowodnić, że one nie są do siebie przeciwstawne tylko że jedno jest równe tyle i tyle, a drugie tyle. Jakbym wiedział jak zrobić pierwszy przykład to może i mógłbym tak zadziałać

[frej]

\(\displaystyle{ \frac{2 (2 sin \frac{\pi}{5} cos \frac{\pi}{5} ) cos \frac{2\pi}{5}}{4 sin \frac{\pi}{5}}= \frac{2 sin \frac{2\pi}{5} cos \frac{2\pi}{5}}{4 sin \frac{\pi}{5}} = \frac{sin \frac{4\pi}{5} }{sin \frac{\pi}{5}}=\frac{sin ( \pi - \frac{\pi}{5} ) }{4 sin \frac{\pi}{5} } = \frac{sin \frac{\pi}{5}}{4 sin \frac{\pi}{5} }=\frac{1}{4}}\)

Co do b) Skoro wiesz, że \(\displaystyle{ a)=\frac{1}{4}}\) i że \(\displaystyle{ cos \frac{2\pi}{5} = cos (\pi - \frac{3\pi}{5} ) = -cos \frac{3\pi}{5}}\) to dalej już łatwo.

[kasiek92]

czesc umie ktos przeksztalcic sin7alfa??