\(\displaystyle{ a) \cos\frac{\pi}{5}*\cos\frac{2*\pi}{5}=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ b) \cos\frac{\pi}{5}*\cos\frac{3*\pi}{5}=-\frac{1}{4}}\)
frej
Tożsamości trygonometryczne, wartość wyrażenia
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 27 lut 2008, o 17:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: gim
- Podziękował: 2 razy
Tożsamości trygonometryczne, wartość wyrażenia
Ostatnio zmieniony 27 kwie 2009, o 18:31 przez Anonymous, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: "III 5.5 [Temat] Nie może składać się tylko ze słów: "Udowodnij, że...", "Zadanie", "Problem" itp." Regulamin Forum - http://matematyka.pl/regulamin.htm
Powód: "III 5.5 [Temat] Nie może składać się tylko ze słów: "Udowodnij, że...", "Zadanie", "Problem" itp." Regulamin Forum - http://matematyka.pl/regulamin.htm
Tożsamości trygonometryczne, wartość wyrażenia
1. Pomnóż przez \(\displaystyle{ \frac{2\cdot 2 \cdot sin \frac{\pi}{5}}{4sin \frac{\pi}{5}}}\) i skorzystaj ze wzoru na sinus podwójnego kąta, potem wzór redukcyjny.
-- 27 kwietnia 2009, 18:40 --
2. Można na przykład tak:
\(\displaystyle{ cos 3x=4cos^3 x - 3 cosx}\)
\(\displaystyle{ t=cos^2 \frac{\pi}{5}}\) i równanie kwadratowe, którego znajdujesz pierwiastki plus to.
-- 27 kwietnia 2009, 18:52 --
2. Inaczej, niech \(\displaystyle{ \zeta = e^{\frac{i\pi}{5}}}\)
Nasza lewa strona przyjmuje postać
\(\displaystyle{ L=\frac{( \zeta + \zeta^{9} )(\zeta^3 + \zeta^7 ) }{4}}\)
przy czym \(\displaystyle{ \zeta^{5} =-1}\) czyli \(\displaystyle{ \zeta^4 - \zeta^3 + \zeta^2 - \zeta =-1}\)
\(\displaystyle{ 4L=\zeta^4 + \zeta^8 + \zeta^{12} + \zeta^{16} = \zeta^4 - \zeta^3 + \zeta^2 - \zeta =-1}\)
Oczywiście tę samą metodę można zastosować w pierwszym przykładzie
A to chyba będzie najprostsza metoda
Dodajesz \(\displaystyle{ a)}\) do \(\displaystyle{ b)}\) i całe zadanie sprowadza się do pokazania, że
\(\displaystyle{ cos \frac{2\pi}{5} = - cos \frac{3\pi}{5} = cos(\pi - \frac{3\pi}{5} ) = cos\frac{2\pi}{5}}\)
Czyli zrobione.
-- 27 kwietnia 2009, 18:40 --
2. Można na przykład tak:
\(\displaystyle{ cos 3x=4cos^3 x - 3 cosx}\)
\(\displaystyle{ t=cos^2 \frac{\pi}{5}}\) i równanie kwadratowe, którego znajdujesz pierwiastki plus to.
-- 27 kwietnia 2009, 18:52 --
2. Inaczej, niech \(\displaystyle{ \zeta = e^{\frac{i\pi}{5}}}\)
Nasza lewa strona przyjmuje postać
\(\displaystyle{ L=\frac{( \zeta + \zeta^{9} )(\zeta^3 + \zeta^7 ) }{4}}\)
przy czym \(\displaystyle{ \zeta^{5} =-1}\) czyli \(\displaystyle{ \zeta^4 - \zeta^3 + \zeta^2 - \zeta =-1}\)
\(\displaystyle{ 4L=\zeta^4 + \zeta^8 + \zeta^{12} + \zeta^{16} = \zeta^4 - \zeta^3 + \zeta^2 - \zeta =-1}\)
Oczywiście tę samą metodę można zastosować w pierwszym przykładzie
A to chyba będzie najprostsza metoda
Dodajesz \(\displaystyle{ a)}\) do \(\displaystyle{ b)}\) i całe zadanie sprowadza się do pokazania, że
\(\displaystyle{ cos \frac{2\pi}{5} = - cos \frac{3\pi}{5} = cos(\pi - \frac{3\pi}{5} ) = cos\frac{2\pi}{5}}\)
Czyli zrobione.
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 27 lut 2008, o 17:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: gim
- Podziękował: 2 razy
Tożsamości trygonometryczne, wartość wyrażenia
mógłbyś jaśniej? bo znam dopiero początki trygonometrii i nie mam pojęcia jak do tego doszedłeś
Tożsamości trygonometryczne, wartość wyrażenia
Czego nie rozumiesz?
Najprostszą metodą w b) jest ostania. Tych wcześniejszych do b) nie musisz czytać.
Najprostszą metodą w b) jest ostania. Tych wcześniejszych do b) nie musisz czytać.
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 27 lut 2008, o 17:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: gim
- Podziękował: 2 razy
Tożsamości trygonometryczne, wartość wyrażenia
ta ostatnią metodę rozumiem. ale czy w niej nie udowadniam tylko przeciwstawności dwóch wyrażeń? Ja mam chyba udowodnić, że one nie są do siebie przeciwstawne tylko że jedno jest równe tyle i tyle, a drugie tyle. Jakbym wiedział jak zrobić pierwszy przykład to może i mógłbym tak zadziałać
Tożsamości trygonometryczne, wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ \frac{2 (2 sin \frac{\pi}{5} cos \frac{\pi}{5} ) cos \frac{2\pi}{5}}{4 sin \frac{\pi}{5}}= \frac{2 sin \frac{2\pi}{5} cos \frac{2\pi}{5}}{4 sin \frac{\pi}{5}} = \frac{sin \frac{4\pi}{5} }{sin \frac{\pi}{5}}=\frac{sin ( \pi - \frac{\pi}{5} ) }{4 sin \frac{\pi}{5} } = \frac{sin \frac{\pi}{5}}{4 sin \frac{\pi}{5} }=\frac{1}{4}}\)
Co do b) Skoro wiesz, że \(\displaystyle{ a)=\frac{1}{4}}\) i że \(\displaystyle{ cos \frac{2\pi}{5} = cos (\pi - \frac{3\pi}{5} ) = -cos \frac{3\pi}{5}}\) to dalej już łatwo.