Przekształcenie równania trygonometrycznego

[wtct]

Witam,

Mam problem z przekształceniem jednego równania trygonometrycznego:

\(\displaystyle{ 2r ^{2} \left[1+cos \left( \beta _{1} + \beta _{2} \right) \right] - 2ar \left( cos\beta _{1} + cos\beta _{2} \right) + a ^{2} = b ^{2}}\)
Zależy mi na tym aby wyznaczyć kąt \(\displaystyle{ \beta _{2}}\) w zależności od kąta \(\displaystyle{ \beta _{1}}\) .
Jestem pewny, że równanie jest prawidłowe ale nie potrafię go przekształcić.

Z góry dziękuję za pomoc
Pozdrawiam
Wojciech

[BettyBoo]

Rozpisz cosinus sumy ze wzoru i podstaw \(\displaystyle{ sin \beta_2=\frac{2t}{1+t^2},\ cos\beta_2=\frac{1-t^2}{1+t^2}}\), gdzie \(\displaystyle{ t=tg\frac{\beta_2}{2}}\). Po uporządkowaniu otrzymasz równanie kwadratowe względem t - jeśli znasz wartości albo chociaż zakresy kątów, to da się to rozwiązać, a potem przejść do kąta za pomocą arctg. Nie wiem, czy to najprostszy sposób, ale póki co jedyny, jaki mi przyszedł do głowy

Pozdrawiam.