Równania trygonometryczne

mitr_ · Post autor: **mitr_** » 23 kwie 2009, o 08:51

Proszę o wytłumaczenie i rozwiązanie równania:

\(\displaystyle{ 2sin3x= -\sqrt{2}}\)

Chodzi mi głównie jak wyznaczyć w tym wypadku \(\displaystyle{ x_{0}}\) i co robię źle tutaj:

\(\displaystyle{ 3x= - \frac{PI}{4} +2k*PI \vee 3x=PI + \frac{PI}{4} + 2k*PI}\)

Poodzian · Post autor: **Poodzian** » 23 kwie 2009, o 09:21

\(\displaystyle{ 2\sin 3x=-\sqrt{2}}\), co daje \(\displaystyle{ \sin 3x=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Dzieje się tak dla kąta \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{4}}\)
Zatem \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}=3x}\) i szukane \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{12}}\) lub...
\(\displaystyle{ \frac{5\pi}{4}=3x}\) i \(\displaystyle{ x=\frac{5\pi}{12}}\)

Teraz uogólniamy rozwiązania na cały zbiór liczb rzeczywistych, dodając do tak otrzymanych rozwiązań okres zasadniczy funkcji sinus (\(\displaystyle{ 2\pi}\)) podzielony przez to, co stoi przy iksie, czyli \(\displaystyle{ 3}\)

Ostatecznie: \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi}{3}\cdot k}\) lub \(\displaystyle{ x=\frac{5\pi}{12}+\frac{2\pi}{3}\cdot k}\)
Gdzie \(\displaystyle{ k \in C}\)

mitr_ · Post autor: **mitr_** » 23 kwie 2009, o 09:44

Do tego samego bym doszedł, rozwiązując równanie, które ja wyprowadziłem. Zbiór podaje odpowiedź:
\(\displaystyle{ x= \frac{5}{12}\pi + \frac{2k\pi}{3} \vee \frac{7}{12}\pi + \frac{2k\pi}{3}}\)

Poodzian · Post autor: **Poodzian** » 23 kwie 2009, o 16:21

Hm, a odpowiedzi te są tożsame
Więc w czym tkwił problem?