kąty wewnętzrne trójkąta...

[spic_14]

Wykaż że jeżeli \(\displaystyle{ \alpha}\) \(\displaystyle{ \beta}\) \(\displaystyle{ \gamma}\) są kątami wewnętrznymi trójkąta i \(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha+sin ^{2} \beta=sin ^{2} \gamma}\) to \(\displaystyle{ sin\gamma \le \frac{3}{5}}\)

jakiś pomysl ?

[Potekk]

hmm... mi trochę inaczej wyszło, ale może mam gdzieś błąd
\(\displaystyle{ \alpha = \pi -( \beta + \gamma) \ \alpha, \beta, \gamma \in (0;\pi) \\ \\
sin ^{2} \alpha+sin ^{2} \beta=sin ^{2} \gamma \\
sin^2 ( \beta + \gamma) + sin ^{2} \beta - sin ^{2} \gamma=0 \\
sin^2 ( \beta + \gamma) + sin( \beta + \gamma)sin( \beta - \gamma)=0\\
sin ( \beta + \gamma) (sin ( \beta + \gamma) + sin(\beta - \gamma) =0 \\
sin ( \beta + \gamma) \cdot 2sin \beta cos \gamma =0}\)
zatem albo \(\displaystyle{ \beta + \gamma=\pi}\) albo \(\displaystyle{ \beta + \gamma=0}\) więc to jest nieprawda
\(\displaystyle{ \beta = 0}\) to też nie prawda i zostaje, że\(\displaystyle{ cos\gamma = 0}\) więc\(\displaystyle{ \gamma = \frac{\pi}{2}}\) co za tym idzie, \(\displaystyle{ sin\gamma = 1}\)

[bedbet]

Hmm, muszę się zastanowić nad tym.

[abc666]

spic_14, dobrze przepisałeś zadanie?

[spic_14]

upss :/ sorki ale rzeczywiście pomylka
poza tym dostalem maila od pewnego uzytkownika z tym zadaniem
zagladać tutaj:
post441324.htm?hilit=k%C4%85tami%20wewn%C4%99trznymi441324h=

sorki no ale czasami sie zdaża mimo to dzieki

[frej]

Można udowodnić nawet mocniej korzystając z nierówności

\(\displaystyle{ sin^2x + sin^2 y + sin^2 z \le \frac{9}{4}}\)

[bedbet]

\(\displaystyle{ \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\
\\
\sin^2\alpha\cos^2\beta+2\sin\alpha\cos\beta\cos\alpha\sin\beta+\cos^2\alpha\sin^2\beta=\sin^2\alpha+\cos^2\beta\\
\\
\sin^2\alpha(\cos^2\beta-1)+2\sin\alpha\cos\alpha\sin\beta\cos\beta+\cos^2\beta(\sin^2\alpha-1)=0\\
\\
(\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta)^2=0\\
\\
\cos(\alpha+\beta)=0\\
\\
cos\gamma=0\Rightarrow\sin\gamma=1}\)

A co do zadania "poprawionego" spróbuj analogicznie je rozwiązać (jeśli chcesz mieć innym sposobem je zrobione).