Wyznacz wszystkie rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ sin^{2}(x+ \frac{ \prod_{}^{} }{4}) +cos ^{2}x -2sin(x+ \frac{ \prod_{}^{} }{4}) - \sqrt{2}cosx + \frac{3}{2} =0}\)
z góry dzieki za pomoc
Wszystkie rozwiązania równania
-
Kapol
- Użytkownik
- Posty: 133
- Rejestracja: 1 gru 2007, o 20:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: TM
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 15 razy
Wszystkie rozwiązania równania
\(\displaystyle{ sin(x+ \frac{\pi}{4})=sinx \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} + cosx \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} = \frac{ \sqrt{2} }{2}(sinx+cosx)}\)
Podstawiając do równania:
\(\displaystyle{ \frac{(sinx+cosx)^{2}}{2}+cos^{2}x - \sqrt{2}(sinx +cosx) - \sqrt{2}cosx + \frac{3}{2}=0 / \cdot 2 \\ (sinx+cosx)^{2}+2cos^{2}x - 2\sqrt{2}(sinx +cosx) - 2 \sqrt{2}cosx + 3=0 \\ sin^{2}x + 2sinxcosx +cos^{2}x + 2cos^{2}x - 2\sqrt{2}(sinx +cosx) - 2 \sqrt{2}cosx + 3=0 \\ 1+2cos^{2}x +2sinxcosx-2 \sqrt{2}sinx -4 \sqrt{2}cosx +3 =0 \\ 2cos^{2}x +2sinxcosx-2 \sqrt{2}sinx -4 \sqrt{2}cosx +4 / :2 \\ cos^{2}x +sinxcosx- \sqrt{2}sinx -2 \sqrt{2}cosx +2}\)
Podstawmy sobie w tym równaniu za \(\displaystyle{ cosx=a; sinx=b}\) i założenia: \(\displaystyle{ a,b \in <-1,1>}\)
wyjdzie:
\(\displaystyle{ a^{2}+ab-b \sqrt{2} -2 \sqrt{2}a+2=0 \\ a^{2}+a(b - 2\sqrt{2}) - \sqrt{2}b+2=0}\)
Normalnie liczymy deltę i wyliczamy \(\displaystyle{ a}\)
\(\displaystyle{ \Delta=b^{2}-4 \sqrt{2} b+8 +4 \sqrt{2} b-8=b^{2} \\ \sqrt{\Delta}=|b| \\ a _{1} = \sqrt{2} - \frac{b+|b|}{2} ; a_{2} = \sqrt{2} - \frac{b-|b|}{2}}\)
Teraz trzeba zrobić przedziały by sprawdzić czy pierwiastki należą do założenia(dla przypomnienia to chodzi o to czy mieszczą się w przedziale <-1,1>)
\(\displaystyle{ 1. b \in <-1 ,0) \\
a_{1} = \sqrt{2} - \frac{b-b}{2}= \sqrt{2} \notin ZAL \\
a_{2} = \sqrt{2} - \frac{b+b}{2}= \sqrt{2} - b \in ZAL \\
2. b \in <0,1> \\
a_{1} = \sqrt{2} - \frac{b+b}{2}= \sqrt{2} - b \in ZAL \\
a_{2} = \sqrt{2} - \frac{b-b}{2}= \sqrt{2} \notin ZAL \\}\)
Wynika z tego że:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{b\in <-1,1>} a=\sqrt{2} - b}\)
Podstawiamy a do równania:
\(\displaystyle{ ( \sqrt{2} -sinx)^{2} + ( \sqrt{2} -sinx)sinx- \sqrt{2} sinx - 2 \sqrt{2}( \sqrt{2} -sinx) +2=0 \\ 0=0}\)
Dobra, już wiem. Nie trzeba nic podstawiać. Wynik wyjdzie z:
\(\displaystyle{ a= \sqrt{2} -b \Rightarrow cosx= \sqrt{2} -sinx \\ cosx = sin(x+ \frac{\pi}{2}) \\ sinx +sin(x+ \frac{\pi}{2})= \sqrt{2} \\ 2sin( \frac{x+x+\frac{\pi}{2}}{2} )cos( \frac{x-x-\frac{\pi}{2}}{2})= \sqrt{2} \\ sin(x+\frac{\pi}{4})cos(- \frac{\pi}{4})= \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ sin(x+\frac{\pi}{4})=1 \\ x+ \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} +2 \pi k \Rightarrow x= \frac{\pi}{4} +2 \pi k , k \in C}\)
Podstawiając do równania:
\(\displaystyle{ \frac{(sinx+cosx)^{2}}{2}+cos^{2}x - \sqrt{2}(sinx +cosx) - \sqrt{2}cosx + \frac{3}{2}=0 / \cdot 2 \\ (sinx+cosx)^{2}+2cos^{2}x - 2\sqrt{2}(sinx +cosx) - 2 \sqrt{2}cosx + 3=0 \\ sin^{2}x + 2sinxcosx +cos^{2}x + 2cos^{2}x - 2\sqrt{2}(sinx +cosx) - 2 \sqrt{2}cosx + 3=0 \\ 1+2cos^{2}x +2sinxcosx-2 \sqrt{2}sinx -4 \sqrt{2}cosx +3 =0 \\ 2cos^{2}x +2sinxcosx-2 \sqrt{2}sinx -4 \sqrt{2}cosx +4 / :2 \\ cos^{2}x +sinxcosx- \sqrt{2}sinx -2 \sqrt{2}cosx +2}\)
Podstawmy sobie w tym równaniu za \(\displaystyle{ cosx=a; sinx=b}\) i założenia: \(\displaystyle{ a,b \in <-1,1>}\)
wyjdzie:
\(\displaystyle{ a^{2}+ab-b \sqrt{2} -2 \sqrt{2}a+2=0 \\ a^{2}+a(b - 2\sqrt{2}) - \sqrt{2}b+2=0}\)
Normalnie liczymy deltę i wyliczamy \(\displaystyle{ a}\)
\(\displaystyle{ \Delta=b^{2}-4 \sqrt{2} b+8 +4 \sqrt{2} b-8=b^{2} \\ \sqrt{\Delta}=|b| \\ a _{1} = \sqrt{2} - \frac{b+|b|}{2} ; a_{2} = \sqrt{2} - \frac{b-|b|}{2}}\)
Teraz trzeba zrobić przedziały by sprawdzić czy pierwiastki należą do założenia(dla przypomnienia to chodzi o to czy mieszczą się w przedziale <-1,1>)
\(\displaystyle{ 1. b \in <-1 ,0) \\
a_{1} = \sqrt{2} - \frac{b-b}{2}= \sqrt{2} \notin ZAL \\
a_{2} = \sqrt{2} - \frac{b+b}{2}= \sqrt{2} - b \in ZAL \\
2. b \in <0,1> \\
a_{1} = \sqrt{2} - \frac{b+b}{2}= \sqrt{2} - b \in ZAL \\
a_{2} = \sqrt{2} - \frac{b-b}{2}= \sqrt{2} \notin ZAL \\}\)
Wynika z tego że:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{b\in <-1,1>} a=\sqrt{2} - b}\)
Podstawiamy a do równania:
\(\displaystyle{ ( \sqrt{2} -sinx)^{2} + ( \sqrt{2} -sinx)sinx- \sqrt{2} sinx - 2 \sqrt{2}( \sqrt{2} -sinx) +2=0 \\ 0=0}\)
Dobra, już wiem. Nie trzeba nic podstawiać. Wynik wyjdzie z:
\(\displaystyle{ a= \sqrt{2} -b \Rightarrow cosx= \sqrt{2} -sinx \\ cosx = sin(x+ \frac{\pi}{2}) \\ sinx +sin(x+ \frac{\pi}{2})= \sqrt{2} \\ 2sin( \frac{x+x+\frac{\pi}{2}}{2} )cos( \frac{x-x-\frac{\pi}{2}}{2})= \sqrt{2} \\ sin(x+\frac{\pi}{4})cos(- \frac{\pi}{4})= \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ sin(x+\frac{\pi}{4})=1 \\ x+ \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} +2 \pi k \Rightarrow x= \frac{\pi}{4} +2 \pi k , k \in C}\)