trygonomeria i logarytmy :((

[doniczek]

Wyznacz parametry m dla których dane równanie ma rozwiązania:
\(\displaystyle{ cos2x + cos(2x+\frac{4}{3}\Pi )= log_{\frac{1}{3}}(\frac{3m+5}{10-m})}\)

i to daje sie latwo przeksztalcic do :
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(cos2x + sqrt{3}sin2x )= log_{\frac{1}{3}}(\frac{3m+5}{10-m})}\)

no i tu sie zaczynają schody bo za nic nie moge wyznaczyć maksimum i minimum tego wyrażenia po lewej(mam na myśli nawias) ((

[Krystyna]

A po co Ci minimum i maximum? Masz wyznaczyć dla jakich wartości parametru m równanie ma rozwiązania.

Tak jak byś określał dziedzine.

Funkcja logarytmowana musi być większa od 0, no i mianownik różny od 0, czyli:
\(\displaystyle{ \frac{3m+5}{10-m} > 0}\)
10-m ≠ 0

Podążając za tą myślą wyszło mi, że równanie ma rozwiązania dla \(\displaystyle{ m (-\infty; -1\frac{2}{3}) \cup (11\frac{2}{3}; +\infty)}\)

Dobrze?

[parasite]

Wyznacz parametry m dla których dane równanie ma rozwiązania:
\(\displaystyle{ cos2x + cos(2x+\frac{4}{3}\Pi )= log_{\frac{1}{3}}(\frac{3m+5}{10-m})}\)

i to daje sie latwo przeksztalcic do :
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(cos2x + sqrt{3}sin2x )= log_{\frac{1}{3}}(\frac{3m+5}{10-m})}\)

no i tu sie zaczynają schody bo za nic nie moge wyznaczyć maksimum i minimum tego wyrażenia po lewej(mam na myśli nawias) ((

Najpierw liczysz dziedzinę: \(\displaystyle{ Df:}\) \(\displaystyle{ \frac{3m+5}{10-m}>0}\) \(\displaystyle{ \wedge}\) \(\displaystyle{ 10-m\neq0}\)

Potem przekształcasz lewą część równania:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(cos2x + sqrt{3}sin2x )=sin(\frac{\Pi}{6})cos2x+cos(\frac{\Pi}{6})sin2x=sin(\frac{\Pi}{6}+2x)}\)
\(\displaystyle{ sin(\frac{\Pi}{6}+2x)}\) przyjmuje wartości \(\displaystyle{ }\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}log_{\frac{1}{3}}(\frac{3m+5}{10-m})\geq-1\\log_{\frac{1}{3}}(\frac{3m+5}{10-m})\leq1\end{array}}\)

Dalej już sobie poradzisz

[EDIT]
Jak z \(\displaystyle{ cos2x + cos(2x+\frac{4}{3}\Pi )}\) doszedłeś do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}(cos2x + sqrt{3}sin2x )}\)??

[doniczek]

Jak z \(\displaystyle{ cos2x + cos(2x+\frac{4}{3}\Pi )}\) doszedłeś do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}(cos2x + sqrt{3}sin2x )}\)??

\(\displaystyle{ cos2x + cos(2x+\frac{4}{3}\Pi )=cos2x + cos2xcos\frac{4}{3}\Pi - sin2xsin\frac{4}{3}\Pi = \frac{1}{2}cos2x+ \frac{\sqrt{3}}{2}sin2x}\)