\(\displaystyle{ \frac{ctg \alpha}{tg2 \alpha +ctg \alpha}=cos2 \alpha}\)
nie potrafie tego rozwiązać dochodze do momentu gdy \(\displaystyle{ tg2 \alpha}\) i \(\displaystyle{ ctg \alpha}\) rozpisuje i sprowadzam do wspólnego mianownika i dalej nie wiem co zorbić:/
sprawdź tożsamość
-
matshadow
- Użytkownik
- Posty: 941
- Rejestracja: 17 gru 2007, o 21:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kingdom Hearts
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 222 razy
sprawdź tożsamość
\(\displaystyle{ \tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ \tan2\alpha+\cot\alpha=\frac{2\tan\alpha+\cot\alpha-\cot\alpha\tan^2\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{2\tan\alpha+\cot\alpha-\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{\tan\alpha+\cot\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}{1-\tan^2\alpha}=\frac{\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}}{1-\tan^2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\cot\alpha}{\tan2\alpha+\cot\alpha}=\frac{\cot\alpha-\cot\alpha\tan^2\alpha}{\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}}=\frac{\cot\alpha-\tan\alpha}{\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}}=\frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}}=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}\)
A że znana jest równość \(\displaystyle{ \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}\), więc udowodniliśmy tożsamość
\(\displaystyle{ \tan2\alpha+\cot\alpha=\frac{2\tan\alpha+\cot\alpha-\cot\alpha\tan^2\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{2\tan\alpha+\cot\alpha-\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{\tan\alpha+\cot\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}{1-\tan^2\alpha}=\frac{\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}}{1-\tan^2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\cot\alpha}{\tan2\alpha+\cot\alpha}=\frac{\cot\alpha-\cot\alpha\tan^2\alpha}{\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}}=\frac{\cot\alpha-\tan\alpha}{\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}}=\frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}}=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}\)
A że znana jest równość \(\displaystyle{ \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}\), więc udowodniliśmy tożsamość