Dowód na trójkąt prostokątny

[kolotek]

Zadanie jest następujące:

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha , \beta, \gamma}\) są kątami trójkąta przy czym:

\(\displaystyle{ \cos ^2 \alpha + cos^2\beta + cos^2 \gamma = 1}\)

to trójkąt ten jest prostokątny

[Potekk]

\(\displaystyle{ \alpha , \beta, \gamma \in (0;\pi) \\ \alpha = \pi - (\beta+\gamma)}\)

\(\displaystyle{ \cos ^2 \alpha + cos^2 \beta + cos^2 \gamma = 1 \\
cos^2 (\beta+\gamma) + cos^2 \beta + 1-sin^2 \gamma = 1 \\
cos^2 (\beta+\gamma) + cos^2 \beta - sin^2 \gamma = 0 \\
2 cos^2 (\beta + \gamma) = 0 \\
\beta + \gamma = \frac{\pi}{2}}\)

[Martinsgall]

mógłbyś rozpisać jak do tego doszedłeś ?
\(\displaystyle{ cos^2 \beta - sin^2 \gamma =cos^2 (\beta+\gamma)}\)

[Potekk]

upps soryy...
\(\displaystyle{ \cos ^2 \alpha + cos^2 \beta + cos^2 \gamma = 1 \\ cos^2 ( \beta+ \gamma) + cos^2 \beta + 1-sin^2 \gamma = 1 \\ cos^2 ( \beta+ \gamma) + cos^2 \beta - sin^2 \gamma = 0 \\
cos^2 ( \beta+ \gamma) + cos(\beta+\gamma) \cdot cos(\beta- \gamma) = 0 \\
cos( \beta+ \gamma) \cdot (cos ( \beta+ \gamma) + cos(\beta- \gamma) )=0 \\
2 cos( \beta+ \gamma) \cdot cos \beta \cdot cos \gamma=0}\)

[Martinsgall]

\(\displaystyle{ cos^2 \beta - sin^2 \gamma = cos(\beta+\gamma) \cdot cos(\beta- \gamma)}\)

Może zadaje jakieś banalne pytanie ale nie wiem jak do tego doszedłeś napisz jakieś krok po kroku

[Potekk]

\(\displaystyle{ cos^2 \beta - sin^2 \gamma = cos^2 \beta - sin^2 \gamma + (cos^2\beta \cdot sin^2 \gamma - cos^2\beta \cdot sin^2 \gamma) = \\ cos^2 \beta - cos^2\beta \cdot sin^2 \gamma - sin^2 \gamma + cos^2\beta \cdot sin^2 \gamma = \\ cos^2 \beta (1-sin^2\gamma) - sin^2 \gamma (1-cos^2 \beta)=cos^2\beta \cdot cos^2 \gamma-sin^2\beta \cdot sin^2 \gamma = \\
(cos\beta \cdot cos \gamma-sin\beta \cdot sin \gamma)(cos\beta \cdot cos \gamma+sin\beta \cdot sin \gamma)=cos(\beta + \gamma) \cdot cos(\beta - \gamma)}\)

[Martinsgall]

Wielkie dzięki, dałbym pomógł ale nie jestem autorem tematu, który już chyba zapomniał ze dał takie zad