sporządź wykres funkcji

[szymek12]

Sporządź wykres funkcji \(\displaystyle{ y= |sinx|+|cosx|}\)

[Potekk]

rozbij na 4 przypadki

\(\displaystyle{ \sin x+\cos x = \sin x + 1 \cdot \cos x = \sin x + \tg 45 \cdot \cos x = \sin x+ \frac{\sin 45}{\ cos 45} \cdot \cos x =
\frac{\sin x \cdot \cos 45 + \sin 45 \cdot \cos x }{\cos 45}= \sqrt{2} \cdot \sin (x+45)}\)

i dla każdego oblicz w ten sam sposób

[Kapol]

Najpierw zauważ że \(\displaystyle{ cos(x)=sin(x+ \frac{\pi}{2})}\)
Dalej narysuj sobie 2 wykresy na jednym układzie współrzędnych:
\(\displaystyle{ f(x)=sin(x) \\ g(x)=sin(x+ \frac{\pi}{2})}\)
Powinno wyglądać mniej więcej tak:


Następnie oznacz sobie przedziały tak jak na rysunku odpowiednie do przedziałów w jakich konkretne funkcje przyjmują wartości dodatnie bądź to ujemne. Powinno wyjść:
\(\displaystyle{ 1. x \in <2k\pi,\frac{\pi}{2} +2k\pi> \\ 2. x \in (\frac{\pi}{2} +2k\pi,\pi +2k\pi> \\ 3. x \in (\pi +2k,\frac{3 \pi}{2} +2k\pi) \\ 4. x \in <\frac{3 \pi}{2} +2k\pi,2 \pi +2k\pi);k \in C}\)

Obliczmy teraz co wyjdzie w każdym przedziale:
\(\displaystyle{ 1. x \in <2k\pi,\frac{\pi}{2} +2k\pi> \\
y=sin(x)+sin(x+\frac{\pi}{2})=2sin( \frac{x+x+\frac{\pi}{2}}{2}) \cdot cos( \frac{x-x-\frac{\pi}{2}}{2})=2sin(x+\frac{\pi}{4}) \cdot cos(-\frac{\pi}{4})=2sin(x+\frac{\pi}{4}) \cdot cos(\frac{\pi}{4})=2sin(x+\frac{\pi}{4}) \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2}= \sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4}) \\
2. x \in (\frac{\pi}{2} +2k\pi,\pi +2k\pi> \\
y=sin(x)-sin(x+\frac{\pi}{4})=2sin(-\frac{\pi}{4}) \cdot cos(x+\frac{\pi}{4})=- \sqrt{2} cos(x+\frac{\pi}{4}) \\
3. x \in (\pi +2k\pi,\frac{3 \pi}{2} +2k\pi) \\
y=-sin(x)-sin(x+\frac{\pi}{2})=-(sin(x)+sin(x+\frac{\pi}{2}))=- \sqrt{2} \cdot sin(x+\frac{\pi}{4}) \\
4. x \in <\frac{3 \pi}{2} +2k\pi,2 \pi +2k\pi) \\
y=-sin(x)+sin(x+\frac{\pi}{2})=-(sin(x)-sin(x+\frac{\pi}{2})= \sqrt{2} \cdot cos(x+\frac{\pi}{4})}\)

Teraz trzeba zrobić sobie przybliżenia, żeby wiedzieć jak to narysować:
\(\displaystyle{ sin(0+\frac{\pi}{4}) \cdot \sqrt{2} = 1 \\ sin(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}) \cdot \sqrt{2} = 1,37 \\ sin(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}) \cdot \sqrt{2} = 1,41 \\ sin(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}) \cdot \sqrt{2} = 1,37 \\ sin(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}) \cdot \sqrt{2} = 1}\)

Nie ma problemów z oszacowaniem wartości cosinusa ponieważ wiemy że \(\displaystyle{ cos(x)=sin(x+\frac{\pi}{2}) \Rightarrow cos(x+\frac{\pi}{4})=sin(x+\frac{3\pi}{2})}\)
Wykres powinien wyglądać tak:

Trochę mnie zaskoczył wygląd wykresu.