Nierówności trygonometryczne

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Sed
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 14 kwie 2009, o 17:02
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Nierówności trygonometryczne

Post autor: Sed »

Witam. Mam do rozwiązania takie 2 nierówności :

1) \(\displaystyle{ \frac{sin3x-cos3x}{sin3x+cos3x}<0}\)

2) \(\displaystyle{ \frac{cos2x}{sinx+cosx} \le 0}\)

A teraz to, do czego ja doszedlem...

1)
\(\displaystyle{ (sin3x-cos3x)(sin3x+cos3x)<0}\)
\(\displaystyle{ ( sin^{2}3x- cos^{2}3x)<0}\)
\(\displaystyle{ 1-2 cos^{2}3x < 0}\)
\(\displaystyle{ 2 cos^{2}3x > 1}\)
\(\displaystyle{ cos^{2}3x > \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos3x > \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ - \frac{pi}{4} +2kpi < 3x < \frac{pi}{4} + 2kpi}\)
\(\displaystyle{ - \frac{pi}{12}+ \frac{2}{3}kpi < x < \frac{pi}{12} + \frac{2}{3}kpi}\)

2)
\(\displaystyle{ cos2x(sinx+cosx) \le 0}\)
\(\displaystyle{ (cos^{2}x-sin^{2}x)(cosx+sinx) \le 0}\)
\(\displaystyle{ (cosx-sinx)(cosx+sinx)^{2} \le 0}\)

I tu zaczęły się schody.. Jak narysowac wykres wielomianu takiego cosia? Proszę uprzejmie o pomoc, w rozwiązaniu tego, i skorygowaniu błędów.

Edit :
Pomyslalem jeszcze chwile nad tym drugim.

\(\displaystyle{ cosx-sinx \le 0}\) lub \(\displaystyle{ cosx+sinx = 0}\)

Czyli \(\displaystyle{ tgx \le 1}\) lub \(\displaystyle{ tgx = -1}\)
\(\displaystyle{ x \in < \frac{pi}{4}+kpi; \frac{pi}{2}+kpi>}\) lub \(\displaystyle{ x= -\frac{pi}{4}+ kpi}\)

Chociaż po kościach czuje, że napisałem głupoty
Awatar użytkownika
RyHoO16
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1822
Rejestracja: 22 paź 2006, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: WLKP
Podziękował: 46 razy
Pomógł: 487 razy

Nierówności trygonometryczne

Post autor: RyHoO16 »

1) Nie do końca jest dobrze, ponieważ
\(\displaystyle{ 2 \cos^2 3x-1>0 \iff 2\left(\cos3x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\cos 3x+ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)>0}\)
czyli jak nic nierówność kwadratowa. Dopiero z tego możesz przejść na trygonometrię.
Oczywiście należało by też założyć, że \(\displaystyle{ \sin 3x + \cos 3x \neq 0}\)
Sed
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 14 kwie 2009, o 17:02
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Nierówności trygonometryczne

Post autor: Sed »

W tym drugim sobie pozamieniałem z różnicy kwadratów.

A za pierwsze bardzo dziękuję. Rozumiem,że muszę teraz rozważyć 2 przypadki - oba czynniki >0 lub oba <0?
ODPOWIEDZ